Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2003 жыл

Есеп №1.

$2003\times 2004$ тіктөртбұрышы бірлік шаршыларға бөлінсін. Төрт шаршының диагональдарымен шектелген ромбыларды қарастырайық. Жанаспайтын және ортақ нүктелері жоқ, ең көп дегенде неше осындай ромбыларды орналастыруға болады?
комментарий/решение

Есеп №2.

$3x+1$ және

$6x-2$ дәл квадрат болатындай, ал

$6{{x}^{2}}-1$ саны жай болатындай барлық натурал

$x$ -ті табыңыз.
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

$I$ нүктесі сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі, ал

$O$ нүктесі осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі.

${{I}_{a}}$ нүктесі

$BC$ қабырғасымен және

$AB$ ,

$AC$ қабырғаларының созындыларымен жанасатын, іштейсырт шеңбердің центрі.

${A}'$ және

$A$ нүктелері

$BC$ түзуіне қатысты симметриялы.

$\angle IO{{I}_{a}}=\angle IA'{{I}_{a}}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №4.

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{n}}$ натурал сандары

$1/{{a}_{1}}+1/{{a}_{2}}+\ldots+1/{{a}_{n}}=1$ шартын қанағаттандырады. Осы сандардың барлығы

${{n}^{{{2}^{n}}}}$ -нен артық емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение

Есеп №5. Барлық нақты

$x$ және

$y$ үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

${{x}^{2}}\sqrt{1+2{{y}^{2}}}+{{y}^{2}}\sqrt{1+2{{x}^{2}}}\ge xy(x+y+\sqrt{2}).$
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Шеңбер бойымен қандай-да бір қатармен 1-ден 100-ге дейінгі сандар орналасқан. Егер екі сан қатар орналаспаса және осы екі сан бөлетін екі доғанын кем дегенде біреуіндегі сандар осы екі саннан да кіші болатын болса, осы сандар жұбын жақсы деп атайық. Барлық жақсы жұптардың саны неше болуы мүмкін?
комментарий/решение

Есеп №7.

$\omega$ -шеңберінен тыс жатқан

$K$ нүктесі арқылы осы шеңберге

$KB$ және

$KD$ жанамалары (

$B$ және

$D$ жанасу нүктелері) және шеңберді

$A$ және

$C$ нүктелерінде қиятын түзу жүргізілген.

$ABC$ бұрышының биссектрисасы,

$AC$ кесіндісін

$E$ нүктесінде, ал

$\omega$ шеңберін

$F$ нүктесінде қияды.

$\angle FDE=90{}^\circ$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №8. Сауық кешіне бірнеше адам келді.Оларды екі бөлмеге, әрбір адамның өз бөлмесінде таныс адамдар саны жұп болатындай орналастыруға болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение