қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2001 жыл
Есеп №1. Турнирге 16 шахматшы қатысты. Әрбір екі шахматшы тек бір ойын ойнады. Жеңіс үшін 1 ұпай, жеңіліс үшін 0 ұпай, ал тең ойын үшін $0,\!5$ ұпай берілді. 15 шахматшы бірінші орынды бөліскендігі анықталды. 16-ыншы шахматшының жинаған ұпайы қанша болуы мүмкін?
(
Ю. Лифшиц
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Қатарынан бір горизонтальда немесе бір вертикальда орналасқан, кез келген 10 санның қосындысы 101-ге бөлінетіндей және әрбір бүтін сан кем дегенде бір торда кездесетіндей, шексіз торлы бетке, бүтін сандарды орналастыруға болады ма?
(
А.Я.Канель-Белов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $ABC$ $(AB=BC)$ теңбүйірлі, сүйір бұрышты үшбұрышқа сырттай центрі $O$ нүктесі болатын шеңбер салынған. $AB$ хордасының ортасы және $O$ нүктесі арқылы түзу жүргізілген. Осы түзу $AC$ түзуін $L$ нүктесінде, ал шеңберді $P$ нүктесінде қияды. $BAC$ бұрышының биссектрисасы шеңберді $K$ нүктесінде кесіп, ал $AB$ және $PK$ түзулері $D$ нүктесінде қиылысады. $L$, $B$, $D$ және $P$ нүктелері бір шеңберде жататынын дәлелдеңдер.
(
С. Попов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. Натурал 1,2,3, $\ldots$,100 сандары, $N$ геометриялық прогрессиялардың бірігуінде кездеседі (міндетті түрде бүтін еселіктермен емес). $N\ge 31$ екендігін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Бір жиында жататын сандар айырмасы 100-ден үлкен емес, әрі жай емес болатындай, натурал сандар қиылыспайтын ${{N}_{1}}$ және ${{N}_{2}}$ жиындарына бөлінген. Осындай барлық бөлінділерді табыңыз.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. Теңбүйірлі $ABC$ $(AC=BC)$ үшбұрышының $AB$ қабырғасында, $\angle PCQ\le \dfrac{1}{2}\angle ACB$ болатындай $P$ және $Q$ нүктелері алынған. $PQ\le \dfrac{1}{2}AB$ теңсіздігін дәлелдеңіз.
(
Фольклор
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №7. Тақтаға бірнеше рационал сандар жазылған. Дима осы сандардың бөлшек бөліктерін жеке қағазға жазып алды. Тақтадағы барлық сандарды квадраттағаннан кейін, Дима осы сандардын бөлшек бөліктерін қайтадан басқа қағазға жазып алды. Диманың қағаздарында бірдей сандар жиыны жазылғандығы анықталды (сандар қатарында айырмашылық болуы мүмкін). Алғашқы тақтаға жазылған сандар, бүтін болғандығын дәлелдеңіз.(Санның бөлшек бөлігі — $\left\{ x \right\}$, $0\le \left\{ x \right\} < 1$ және $x-\left\{ x \right\}$ — бүтін бөлігі.)
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Үш адам, екі орынды бір мотоцикл арқылы 70 км жолды 3 сағатта жүріп өте алады ма? Жаяу жүргіншінің жылдамдығы 5 км/сағ, ал мотоцикл жылдамдығы 50 км/сағ.
(
Фольклор
)
комментарий/решение
комментарий/решение