Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2001 год


Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника ABC (AB=BC) описана окружность с центром в точке O. Через середину хорды AB и точку O проведена прямая. Она пересекает прямую AC в точке L и окружность — в точке P. Пусть биссектриса угла BAC пересекает окружность в точке K, прямые AB и PK пересекаются в точке D. Докажите, что точки L, B, D и P лежат на одной окружности. ( С. Попов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 года 3 месяца назад #

Буду благодарен за конструктивную критику и рофлы)

1)Теорема: у равнобедренного треугольника углы при основании равны, отсюда BAC=BCA=2x

2)Пусть M - середина AB. Покажем, что OMB -прямой. Здесь O - центр описанной окружности ΔABC

3)OA=OB=RΔABC;AM=MB (2 пункт); OM - общая сторона.

Получается, ΔMOB=ΔMOA по трем сторонам. Из равенства треугольников следует, что OMB=OMA

4)С другой стороны OMB+OMA=180. Отсюда

OMB=OMA=1802=90

5)Рассмотрим ΔAML и ΔBML. Они равны по 2 сторонам и углу между ними. Ведь AM=MB;ML общая; BML=AML=90

6)Из пункта (5) вывод: MLA=MLB. Вычислим их.

MLA=180902x=902x

Отсюда и MLB=902x

7) Если покажем, что MLB=BDP, то это послужит доказательством, что вокруг LPDB можно описать окружность (равенство углов, опирающихся на одну дугу)

8)Пусть KPAC=W

9)Пусть OKBC=N. Дуга BK равна дуге KC, так как по условию AK - биссектриса угла BAC. Отсюда, отрезки BK и KC равны по длине

10)ΔBKO=ΔCKO по трем сторонам (BK=KC) (пункт 9); OB=OC=RΔABC;OK общая

Из равенства треугольников следует BKO=CKO

11)ΔBKN=ΔCKN по двум сторонам и углу между ними. Ведь BKO=CKO;BK=KC;NKобщая

Из равенства треугольников следует BNK=CNK

12)С другой стороны BNK+CNK=180

BNK=CNK=180/2=90

13)Пусть KI=IP;ΔOKI=ΔOIP по трем сторонам.Из равенства треугольников следует KIO=PIO=90

14)ABC=180BACBCA=1802x2x=1804x

15)Из BMON:

MON=3609090(1804x)=4x

16)Как смежные углы: KOP=180MON=1804x

KOI=POI=KOP/2=902x

17)POI=PLC=902xOIAC

Отсюда OIP=LWP=90 как накрест лежащие при параллельных

18)KWA=90 (см пункт 17). счетом углов получилось BDP=902x=MLB

Согласно пункту 7, только что доказано, что LPDB - вписанный

  2
2 года 3 месяца назад #

Урааааа, решение не через Векторы))