Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2001 год
Комментарий/решение:
Буду благодарен за конструктивную критику и рофлы)
1)Теорема: у равнобедренного треугольника углы при основании равны, отсюда ∠BAC=∠BCA=2⋅x
2)Пусть M - середина AB. Покажем, что ∠OMB -прямой. Здесь O - центр описанной окружности ΔABC
3)OA=OB=RΔABC;AM=MB (2 пункт); OM - общая сторона.
Получается, ΔMOB=ΔMOA по трем сторонам. Из равенства треугольников следует, что ∠OMB=∠OMA
4)С другой стороны ∠OMB+∠OMA=180∘. Отсюда
∠OMB=∠OMA=180∘2=90∘
5)Рассмотрим ΔAML и ΔBML. Они равны по 2 сторонам и углу между ними. Ведь AM=MB;ML− общая; ∠BML=∠AML=90∘
6)Из пункта (5) вывод: ∠MLA=∠MLB. Вычислим их.
∠MLA=180∘−90∘−2⋅x=90∘−2⋅x
Отсюда и ∠MLB=90∘−2⋅x
7) Если покажем, что ∠MLB=∠BDP, то это послужит доказательством, что вокруг LPDB можно описать окружность (равенство углов, опирающихся на одну дугу)
8)Пусть KP∩AC=W
9)Пусть OK∩BC=N. Дуга BK равна дуге KC, так как по условию AK - биссектриса угла ∠BAC. Отсюда, отрезки BK и KC равны по длине
10)ΔBKO=ΔCKO по трем сторонам (BK=KC) (пункт 9); OB=OC=RΔABC;OK− общая
Из равенства треугольников следует ∠BKO=∠CKO
11)ΔBKN=ΔCKN по двум сторонам и углу между ними. Ведь ∠BKO=∠CKO;BK=KC;NK−общая
Из равенства треугольников следует ∠BNK=∠CNK
12)С другой стороны ∠BNK+∠CNK=180∘
∠BNK=∠CNK=180∘/2=90∘
13)Пусть KI=IP;ΔOKI=ΔOIP по трем сторонам.Из равенства треугольников следует ∠KIO=∠PIO=90∘
14)∠ABC=180∘−∠BAC−∠BCA=180∘−2x−2x=180∘−4x
15)Из BMON:
∠MON=360∘−90∘−90∘−(180∘−4x)=4x
16)Как смежные углы: ∠KOP=180∘−∠MON=180∘−4x
∠KOI=∠POI=∠KOP/2=90∘−2x
17)∠POI=∠PLC=90∘−2x⇒OI∥AC
Отсюда ∠OIP=∠LWP=90∘ как накрест лежащие при параллельных
18)∠KWA=90∘ (см пункт 17). счетом углов получилось ∠BDP=90∘−2x=∠MLB
Согласно пункту 7, только что доказано, что LPDB - вписанный
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.