Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Вычислите значение:

$\dfrac{{1^4 + 2009^4 + 2010^4 }}{{1^2 + 2009^2 + 2010^2 }}.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. Дан пятиугольник

$ABCDE$ такой, что

$AB = BC = CD = DE$ ,

$\angle B=96^\circ$

$\angle C= \angle D=108^\circ$ . Найдите

$\angle E$ .
комментарий/решение(2)

Задача №3. Для неотрицательных вещественных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ и положительных вещественных чисел

$x, y, z$ , удовлетворяющих тождеству

$a+b+c=x+y+z,$ докажите неравенство:

$\dfrac{{a^3 }}{{x^2 }} + \dfrac{{b^3 }}{{y^2 }} + \dfrac{{c^3 }}{{z^2 }} \geq a + b + c.$
комментарий/решение(3)

Задача №4. Во вписанном четырёхугольнике

$ABCD‍$ известны отношения

$AB : DC = 1 : 2‍$ и

$BD : AC = 2 : 3$ .‍ Найдите

$DA : BC$ .‍
комментарий/решение(1)

Задача №5. Натуральное число

$m$ таково, что сумма цифр в десятичной записи числа

$8^m$ равна

$8$ . Может ли при этом последняя цифра числа

$8^m$ быть равной

$6$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Гриб называется

$\it{\text{плохим}}$ , если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
комментарий/решение(1)