қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Вычислите значение: $\dfrac{{1^4 + 2009^4 + 2010^4 }}{{1^2 + 2009^2 + 2010^2 }}.$
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Дан пятиугольник $ABCDE$ такой, что $AB = BC = CD = DE$, $\angle B=96^\circ $ $\angle C= \angle D=108^\circ $. Найдите $\angle E$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Для неотрицательных вещественных чисел $a$, $b$, $c$
и положительных вещественных чисел $x, y, z$, удовлетворяющих тождеству
$$
a+b+c=x+y+z,$$
докажите неравенство: $\dfrac{{a^3 }}{{x^2 }} + \dfrac{{b^3 }}{{y^2 }} + \dfrac{{c^3 }}{{z^2 }} \geq a + b + c.$
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ известны отношения $AB : DC = 1 : 2$ и $BD : AC = 2 : 3$. Найдите $DA : BC$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Натуральное число $m$ таково, что сумма цифр в десятичной записи числа $8^m$ равна $8$. Может ли при этом последняя цифра числа $8^m$ быть равной $6$?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Гриб называется $\it{\text{плохим}}$, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)