Математикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып
a+b+c=x+y+z орындалатын теріс емес a, b, c нақты сандары және оң x, y, z нақты сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: a3x2+b3y2+c3z2≥a+b+c.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Мы можем поменятьa3x2=a2/x2/a
, имея неравенство a2/x2/a+b2/y2/b+c2/z2/c≥(a+b+c)2/(x2/a+y2/b+c2/z)Используя неравенство «Cauchy-Schwarz inequality in Engel form”). Возьмём нижняя часть x2/a+y2/b+z2/c≥(x+y+z)2/a+b+c . Так как имеем x+y+z=a+b+c, сокращаются и останется
x2/a+y2/b+z2/c≥a+b+c или (x+y+z)
Дальше получим требоваемое
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.