Математикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 9 сынып

Шеңберге іштей сызылған $ABCD$ төртбұрышында $AB : DC = 1 : 2$ және $BD : AC = 2 : 3$ қатынастары орындалады. $DA : BC$ қатынасын табыңыздар.

Комментарий/решение

Ответ: $1:4$

Решение. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Тогда треугольники EBA и ECD подобны. $\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{1}{2}$ . Пускай $BE=c, AE=d$, тогда $CE=2c, DE=2d$. В таком случае $\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{c+2d}{d+2c}=\dfrac{2}{3}$, из чего следует $c=4d$. Также подобны треугольники EAD и ECD. Из их подобия и вышел ответ