Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Вычислите значение:

$\dfrac{{1^4 + 2009^4 + 2010^4 }}{{1^2 + 2009^2 + 2010^2 }}.$
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дан пятиугольник

$ABCDE$ такой, что

$AB = BC = CD = DE$ ,

$\angle B=96^\circ$

$\angle C= \angle D=108^\circ$ . Найдите

$\angle E$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Под Новый год Дед Мороз подарил детям коробку конфет.

$70\%$ всех конфет получила Айжан,

$25\%$ — Таня, а остальную часть — Маржан. Потом Айжан отдала 20 конфет Маржан, после чего Таня и Маржан сложили свои части и поделили конфеты пополам. После этого у Айжан осталось в три раза больше конфет, чем у Маржан. На следующий день Дед Мороз подарил каждой девочке еще по

$x$ конфет. После этого у Айжан оказалось в два раза больше конфет, чем у Маржан. Найдите

$x$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Если число

$2^m + 3^n$ делится на 5, то докажите, что число

$2^n + 3^m$ также делится на 5.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Середины сторон

$AB$ и

$AC$ остроугольного треугольника

$ABC$ обозначим соответственно через

$M$ и

$N$ . Для любой точки

$S$ на стороне

$BC$ докажите неравенство:

$(MB- MS)\cdot (NC- NS) < 0.$
комментарий/решение(1)

Задача №6. Гриб называется

$\it{плохим}$ , если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
комментарий/решение(2)