Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 8 класс

Гриб называется $\it{плохим}$, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?

Комментарий/решение

Могут, если в каждом из плохих грибов ровно 10 червей, а в хороших нет червей. Пример: с каждого плохого гриба переползает червяк на хороший гриб, для которого количество червей меньше 9. Получим все хорошие грибы по 9 червей в каждом. :)

В противном случае, не могут, так как по принципу Дирихле имеем 100 грибов и минимум 901 червя, а значит в одном грибе будет, по крайней мере, 10 червей.

Пусть в каждом плохом грибе ровно 10 червей, а в хорошем червей нет. Далее, пусть из каждого плохого гриба по одному червю переползут в хорошие, по 9 в каждый. В результате в каждом грибе окажется по 9 червей, и все грибы будут хорошими.

То есть, могут

Скопировано с: <a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=65052">Решение</a>