қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 8 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Вычислите значение: $\dfrac{{1^4 + 2009^4 + 2010^4 }}{{1^2 + 2009^2 + 2010^2 }}.$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Дан пятиугольник $ABCDE$ такой, что $AB = BC = CD = DE$, $\angle B=96^\circ $ $\angle C= \angle D=108^\circ $. Найдите $\angle E$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Под Новый год Дед Мороз подарил детям коробку конфет. $70\%$
всех конфет получила Айжан, $25\%$ — Таня, а остальную часть — Маржан.
Потом Айжан отдала 20 конфет Маржан, после чего Таня и Маржан сложили свои части и поделили конфеты пополам. После этого у Айжан осталось в три раза больше конфет, чем у Маржан. На следующий день Дед Мороз подарил каждой девочке еще по $x$ конфет. После этого у Айжан оказалось в два раза больше конфет, чем у Маржан. Найдите $x$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Если число $2^m + 3^n$ делится на 5, то докажите, что число $2^n + 3^m$ также делится на 5.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Середины сторон $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ обозначим соответственно через $M$ и $N$. Для любой точки $S$ на стороне $BC$ докажите неравенство:
$$(MB- MS)\cdot (NC- NS) < 0.$$
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Гриб называется $\it{плохим}$, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)