Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 8 класс

Вычислите значение: $\dfrac{{1^4 + 2009^4 + 2010^4 }}{{1^2 + 2009^2 + 2010^2 }}.$

Комментарий/решение

тождество $a^4+(a-1)^4+1=(a^2+(a-1)^2+1)(a^2-a+1)$

так как $a^4+(a-1)^4+1 = 2(a^2-a+1)^2$

То есть $\dfrac{1^4 + 2009^4+2010^4}{1^2+2009^2+2010^2} = 2010^2-2010+1= 2010 \cdot 2009+1$