Районная олимпиада, 2009-2010 учебный год, 8 класс

Середины сторон $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ обозначим соответственно через $M$ и $N$. Для любой точки $S$ на стороне $BC$ докажите неравенство: $$(MB- MS)\cdot (NC- NS) < 0.$$

Комментарий/решение

Любая чевиана

, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, меньше боковых сторон. На стороне $BC $ обозначим точки $B_1$ и $C_1$ такие, что $NC=NC_1;MB=MB_1$.Покажем, что $B_1$ и $C_1$ совпадают. По построению $AM=MB=MB_1$, то есть $M$ - центр описаной окружности треугольника $ABB_1$, и $AB $- диаметр этой окружности. $\angle AB_1B=90$ как опирающийся на диаметр. Аналогично $\angle AC_1C =90$. Получим, что из одной точки $A $ к одной прямой два перпендикуляра, что возможно лишь в случае, если они совпадут. Теперь, если $S\in BC_1$, то $MB>MS;NC<NS $,тогда $(MB-MS)(NC-NS)<0$. Аналогично, если $S\in CB_1$