Математикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 8 сынып

$ABC$ үшбұрышының $AB$ және $AC$ қабырғаларының орталарын сәйкесінше $M$ және $N$ деп белгілейік. $BC$ қабырғасындағы кез келген $S$ нүктесі үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіздер: $(MB- MS)\cdot (NC- NS) \leq 0.$

Комментарий/решение

Любая чевиана

, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, меньше боковых сторон. На стороне $BC$ обозначим точки $B_1$ и $C_1$ такие, что $NC=NC_1;MB=MB_1$.Покажем, что $B_1$ и $C_1$ совпадают. По построению $AM=MB=MB_1$, то есть $M$ - центр описаной окружности треугольника $ABB_1$, и $AB$- диаметр этой окружности. $\angle AB_1B=90$ как опирающийся на диаметр. Аналогично $\angle AC_1C =90$. Получим, что из одной точки $A$ к одной прямой два перпендикуляра, что возможно лишь в случае, если они совпадут. Теперь, если $S\in BC_1$, то $MB>MS;NC<NS$,тогда $(MB-MS)(NC-NS)<0$. Аналогично, если $S\in CB_1$