Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1.

$a+b+c=0$ және

${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}=50$ шарттарын қанағаттандыратын

$a,b,c$ нақты сандары берілген.

$ab+bc+ca$ мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын

$M$ және

$N$ нүктелерінде жанайды.

$P$ —

$MN$ түзуі мен

$B$ бұрышының биссектрисасымен (немесе оның созындысымен) қиылысу нүктесі.

$BPC$ бұрышы тік болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Қатар келген 2009 құрама натурал сандар табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

${{x}_{1}},{{x}_{2}}, \ldots,{{x}_{n}} > 0$ және

${{x}_{1}}{{x}_{2}} \ldots{{x}_{n}}=1$ шарттарын қанағаттандыратын кез-келген сандар үшін

$(1+{{x}_{1}})(1+{{x}_{2}}) \ldots(1+{{x}_{n}})\ge {{2}^{n}}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Залда

$n > 2$ адам бар. Таныстарының саны бірдей 2 адам табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Теңқабырғалы

$ABC$ үшбұрышының

$C$ төбесінен кез-келген түзу жүргізілді.

$K$ және

$M$ —

$A$ және

$B$ нүктелерінің осы түзуге түсірген проекциялары.

$P$ —

$AB$ ортасы.

$KMP$ теңқабырғалы үшбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)