қазақша
русскийМатематикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. $a+b+c=0$ және ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}=50$шарттарын қанағаттандыратын $a,b,c$ нақты сандары берілген. $ab+bc+ca$ мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын $M$ және $N$ нүктелерінде жанайды. $P$ — $MN$ түзуі мен $B$ бұрышының биссектрисасымен (немесе оның созындысымен) қиылысу нүктесі. $BPC$ бұрышы тік болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. ${{x}_{1}},{{x}_{2}}, \ldots,{{x}_{n}} > 0$ және ${{x}_{1}}{{x}_{2}} \ldots{{x}_{n}}=1$ шарттарын қанағаттандыратын кез-келген сандар үшін $(1+{{x}_{1}})(1+{{x}_{2}}) \ldots(1+{{x}_{n}})\ge {{2}^{n}}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Залда $n > 2$ адам бар. Таныстарының саны бірдей 2 адам табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышының $C$ төбесінен кез-келген түзу жүргізілді. $K$ және $M$ — $A$ және $B$ нүктелерінің осы түзуге түсірген проекциялары. $P$ — $AB$ ортасы. $KMP$ теңқабырғалы үшбұрыш екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)