Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 10 класс

Через вершину $C$ равностороннего треугольника $ABC$ проведена произвольная прямая, $K$ и $M$ — проекции точек $A$ и $B$ на эту прямую, $P$ — середина $AB$. Докажите, что треугольник $KMP$ — равносторонний.

Комментарий/решение

$PC \perp AB$ , значит около четырехугольников $CPBM$ и $CPAK$ можно описать окружности , откуда $\angle PMC=\angle ABC = \angle BAC = \angle PKC = 60^{\circ}$ $X = BC \cap PM$ , $Y = AC \cap PK$ , тогда $\angle PXC = \angle XCM+60 ^{\circ} ; \angle PYC = 180^{\circ}-\angle XCM$ , то есть $\angle KPM = 360^{o}-300^{\circ}=60^{\circ}$ . $\Delta KPM$ равносторонний.