Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 10 класс

Задача №1. Пусть

$a, b, c$ — действительные числа такие, что

$a + b + c = 0$ и

$a^4 + b^4 + c^4 = 50$ . Определите

$ab + bc + ca$ .
комментарий/решение(1)

Задача №2. Вписанная окружность касается сторон

$AB$ и

$AC$ треугольника

$ABC$ в точках

$M$ и

$N$ . Пусть

$P$ — точка пересечения прямой

$MN$ и биссектрисы угла

$B$ (или ее продолжения). Докажите, что угол

$BPC$ — прямой.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что существует 2009 последовательных натуральных составных чисел.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Докажите, что для любых

$x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n > 0$ , для которых

$x_1 x_2 \ldots x_n = 1$ , выполнено неравенство

$(1 + x_1 )(1 + x_2 ) \ldots (1 + x_n ) \geq 2^n$ .
комментарий/решение(2)

Задача №5. В зале находятся

$n>2$ человек. Доказать, что среди них найдутся 2 человека с одинаковым количеством знакомых.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Через вершину

$C$ равностороннего треугольника

$ABC$ проведена произвольная прямая,

$K$ и

$M$ — проекции точек

$A$ и

$B$ на эту прямую,

$P$ — середина

$AB$ . Докажите, что треугольник

$KMP$ — равносторонний.
комментарий/решение(1)