Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 10 класс

Докажите, что для любых $x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n > 0$, для которых $x_1 x_2 \ldots x_n = 1$, выполнено неравенство $(1 + x_1 )(1 + x_2 ) \ldots (1 + x_n ) \geq 2^n$.

Комментарий/решение

По неравенству между средним арифметическим и геометрическим, имеем: $1+x_{i} \geq 2 \sqrt{x_{i}}$. Переможая все аналогичные неравенства получаем требуемое.

Бұл теңсіздік Гюйгенс теңсіздігі деп аталады. $x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}=1$ болғандықтан:

$(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n})=\frac{(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n})}{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}=(1+\frac{1}{x_{1}})...(1+\frac{1}{x_{n}}).$

$(1+x_{i})\cdot (1+\frac{1}{{x_{i}}})=2+x_{i}+\frac{1}{x_{i}}\geq 4.$

$((1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n}))^2=(1+x_{1})(1+\frac{1}{x_{1}})...(1+x_{n})(1+\frac{1}{x_{n}})\geq 4^n.$