Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

${{x}_{1}},{{x}_{2}}, \ldots,{{x}_{n}} > 0$ және ${{x}_{1}}{{x}_{2}} \ldots{{x}_{n}}=1$ шарттарын қанағаттандыратын кез-келген сандар үшін $(1+{{x}_{1}})(1+{{x}_{2}}) \ldots(1+{{x}_{n}})\ge {{2}^{n}}$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

По неравенству между средним арифметическим и геометрическим, имеем: $1+x_{i} \geq 2 \sqrt{x_{i}}$. Переможая все аналогичные неравенства получаем требуемое.

Бұл теңсіздік Гюйгенс теңсіздігі деп аталады. $x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}=1$ болғандықтан:

$(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n})=\frac{(1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n})}{x_{1}\cdot x_{2}\cdot ...\cdot x_{n}}=(1+\frac{1}{x_{1}})...(1+\frac{1}{x_{n}}).$

$(1+x_{i})\cdot (1+\frac{1}{{x_{i}}})=2+x_{i}+\frac{1}{x_{i}}\geq 4.$

$((1+x_{1})(1+x_{2})...(1+x_{n}))^2=(1+x_{1})(1+\frac{1}{x_{1}})...(1+x_{n})(1+\frac{1}{x_{n}})\geq 4^n.$