Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 10 класс

Пусть $a, b, c$ — действительные числа такие, что $a + b + c = 0$ и $a^4 + b^4 + c^4 = 50$. Определите $ab + bc + ca$.

Комментарий/решение

$$ab+bc+ac=x$$

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2+2x=0\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2x\Rightarrow x\leq 0$$

$$a^4+b^4+c^4=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^2b^2+c^2b^2+a^2c^2)=4x^2-2x^2+4(a^2bc+b^2ac+c^2bc)=$$ $$=4x^2-2x^2+4abc(a+b+c)=4x^2-2x^2=50\Rightarrow x_1=5 \Rightarrow x_{2}=-5$$

$$x\leq 0 \Rightarrow x_1=-5$$

$$ответ: ab+bc+ac=-5$$