Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 10 класс

Вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ в точках $M$ и $N$. Пусть $P$ — точка пересечения прямой $MN$ и биссектрисы угла $B$ (или ее продолжения). Докажите, что угол $BPC$ — прямой.

Комментарий/решение

Пусть $\angle A = 2\alpha$.Проведём биссектрисы углов $A$ и $C$.Они пересекаются в точке $O$, где $O$ центр вписанной окружности. Так как $\angle AMO = 90 ^\circ $ и $\angle ANO= 90 ^\circ $, то $AMON$ - вписанный четырехугольник.Тогда $\angle MNO = \angle MAO = \alpha$, и $\angle MNC = \angle PNC = 90^\circ + \alpha$.Так как $\angle BOC = 90^\circ + \alpha$, значит $OPNC$ - вписанный четырехугольник.Тогда $\angle BPC = \angle OPC = \angle ONC = 90^\circ$, ч.т.д.