Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер $AB$ және $AC$ қабырғаларын $M$ және $N$ нүктелерінде жанайды. $P$ — $MN$ түзуі мен $B$ бұрышының биссектрисасымен (немесе оның созындысымен) қиылысу нүктесі. $BPC$ бұрышы тік болатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $\angle A = 2\alpha$.Проведём биссектрисы углов $A$ и $C$.Они пересекаются в точке $O$, где $O$ центр вписанной окружности. Так как $\angle AMO = 90 ^\circ $ и $\angle ANO= 90 ^\circ $, то $AMON$ - вписанный четырехугольник.Тогда $\angle MNO = \angle MAO = \alpha$, и $\angle MNC = \angle PNC = 90^\circ + \alpha$.Так как $\angle BOC = 90^\circ + \alpha$, значит $OPNC$ - вписанный четырехугольник.Тогда $\angle BPC = \angle OPC = \angle ONC = 90^\circ$, ч.т.д.