Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 10 сынып

Теңқабырғалы $ABC$ үшбұрышының $C$ төбесінен кез-келген түзу жүргізілді. $K$ және $M$ — $A$ және $B$ нүктелерінің осы түзуге түсірген проекциялары. $P$ — $AB$ ортасы. $KMP$ теңқабырғалы үшбұрыш екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$PC \perp AB$ , значит около четырехугольников $CPBM$ и $CPAK$ можно описать окружности , откуда $\angle PMC=\angle ABC = \angle BAC = \angle PKC = 60^{\circ}$ $X = BC \cap PM$ , $Y = AC \cap PK$ , тогда $\angle PXC = \angle XCM+60 ^{\circ} ; \angle PYC = 180^{\circ}-\angle XCM$ , то есть $\angle KPM = 360^{o}-300^{\circ}=60^{\circ}$ . $\Delta KPM$ равносторонний.