Математикадан 49-шы халықаралық олимпиада, 2008 жыл, Мадрид

Есеп №1.

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі

$H$ болсын. Центрі

$BC$ қабырғасында орналасқан

$H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер

$BC$ түзуін

${{A}_{1}}$ және

${{A}_{2}}$ нүктелерінде қияды. Дәл сондай центрі

$CA$ қабырғасының ортасында болатын

$H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер

$CA$ түзуін

${{B}_{1}}$ және

${{B}_{2}}$ нүктелерінде қияды, ал центрі

$AB$ қабырғасының ортасында болатын

$H$ нүктесі арқылы өтетін шеңбер

$AB$ түзуін

${{C}_{1}}$ және

${{C}_{2}}$ нүктелерінде қияды.

${{A}_{1}}$ ,

${{A}_{2}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{B}_{2}}$ ,

${{C}_{1}}$ ,

${{C}_{2}}$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. а) Әрқайсысы 1-ге тең емес және

$xyz=1$ шартын қанағаттандыратын

$x$ ,

$y$ ,

$z$ нақты сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{{{\left( z-1 \right)}^{2}}}\ge 1.$
б) Бірліктен өзге

$xyz=1$ болатын рационал

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандарының үштігі, көрсетілген теңсіздіктің теңдік жағдайы орындалатындай шексіз көп табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

${{n}^{2}}+1$ санының (

$2n+\sqrt{2n}$ ) — ден үлкен жай бөлгіші бар болатындай шексіз көп

$n$ натурал саны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$wx=yz$ болатын кез келген оң

$w$ ,

$x$ ,

$y$ ,

$z$ сандары үшін

$\dfrac{{{\left( f(w) \right)}^{2}}+{{\left( f(x) \right)}^{2}}}{f({{y}^{2}})+f({{z}^{2}})}=\dfrac{{{w}^{2}}+{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ орындалатындай барлық

$f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$n$ және

$k$ сандары

$k\ge n$ болатындай натурал сандар, ал (

$n-k$ ) — жұп сан. Әрбірі төмендегідей екі күйдің бірінде болатын,

$1$ ,

$2$ ,

$\ldots$ ,

$2n$ сандарымен нөмірленген

$2n$ шам берілген: қосылған және өшірілген. Бастапқыда барлық шамдар өшіп тұрды. Реттелген жүрістер тізбегі қарастырылады: әрбір жүрісте дәл бір шам өзінің күйін қарсы күйге ауыстырады(қосылғаннан өшірілгенге, өшірілгеннен қосылғанға).

$k$ жүрістен тұратын, 1-шіден

$n$ -ші шамға дейін барлық шамдар қосылған, ал

$\left( n+1 \right)$ -ден бастап

$\left( 2n \right)$ -ге дейін шамдар барлығы өшірілген күйде болатындай тізбектер санын

$N$ деп белгілейміз.

$k$ жүрістен тұратын, 1-шіден

$n$ -ші шамға дейін барлық шамдар қосылған, ал

$\left( n+1 \right)$ -ден бастап

$\left( 2n \right)$ -ге дейін шамдар барлығы өшірілген, бірақ

$\left( n+1 \right)$ -ден бастап

$\left( 2n \right)$ -ге дейін шамдар өз күйін еш өзгертпейтін күйде болатындай тізбектер санын

$M$ деп белгілейміз.

$\dfrac{N}{M}$ қатынасының мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №6.

$BA\ne BC$ болатын

$ABCD$ дөңес төртбұрышы берілсін.

$ABC$ және

$ADC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше

${{\omega }_{1}}$ және

${{\omega }_{2}}$ деп белгілейміз.

$BA$ кесіндісінің жалғасын

$A$ нүктесінде,

$BC$ кесіндісінің жалғасын

$C$ нүктесінде, ал

$AD$ және

$CD$ түзулерін жанайтындай

$\omega$ шеңбері кездеседі деп есептейік.

${{\omega }_{1}}$ және

${{\omega }_{2}}$ шеңберлеріне жүргізілген сыртқы ортақ жанамалар

$\omega$ шеңберінің бойында қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

результаты