49-я Международная Математическая OлимпиадаИспания, Мадрид, 2008 год

Найдите все функции $f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$ такие, что $\dfrac{{{\left( f(w) \right)}^{2}}+{{\left( f(x) \right)}^{2}}}{f({{y}^{2}})+f({{z}^{2}})}=\dfrac{{{w}^{2}}+{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ для любых положительных $w$, $x$, $y$, $z$ удовлетворяющих равенству $wx=yz$.

Комментарий/решение

$$w=z=x=y=1 \Rightarrow (f(1))^2-f(1)=0 \Rightarrow f(1)=1$$

$$w=z, x=1, y=z=\sqrt{z}\Rightarrow \frac{(f(z))^2+(f(1))^2}{2f(z)}=\frac{z^2+1}{2z}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \frac{(f(z))^2+1}{2f(z)}=\frac{z^2+1}{2z}\Rightarrow 2z(f(z))^2+2z-2z^2f(z)-2f(z)=0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 2zf(z)(f(z)-z)-2(f(z)-z)=2(f(z)-z)(zf(z)-1)=0\Rightarrow$$

$$1) f(z)=z , (z>0) \Rightarrow \frac{(f(w))^2+(f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$

$$2)f(z)=\frac{1}{z}, (z>0) \Rightarrow \frac{(f(w))^2+(f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)}=\frac{\left(\frac{1}{w}\right)^2+\left(\frac{1}{x}\right)^2}{\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\frac{\frac{w^2+x^2}{(wx)^2}}{\frac{y^2+z^2}{(yz)^2}}=\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$

$O$ $T$ $B$ $E$ $T$ : $f_1(x)=x,$ $f_2(x)=\frac{1}{x} (x>0)$

На самом деле надо еще доказать, что не может быть так, чтобы $f(a)=a$, и $f(b)=1/b$ для одной и той же функции, где $a,b$ - положительные, $a \ne 1, b \ne 1$