49-я Международная Математическая Oлимпиада
Испания, Мадрид, 2008 год

Задача №1. Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность с центром в середине стороны $BC$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $BC$ в точках ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{2}}$. Аналогично окружность с центром в середине стороны $CA$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $CA$ в точках ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$, а окружность с центром в середине стороны $AB$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $AB$ в точках ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$. Докажите, что точки ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ лежат на одной окружности.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  а) Докажите, что неравенство $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{{{\left( z-1 \right)}^{2}}}\ge 1$ выполняется для любых отличных от 1 действительных чисел $x$, $y$, $z$ таких, что $xyz=1$.
б) Докажите, что указанное неравенство обращается в равенство для бесконечного числа троек отличных от единицы рациональных чисел $x$, $y$, $z$ таких, что $xyz=1$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что число ${{n}^{2}}+1$ имеет простой делитель, больший числа $2n+\sqrt{2n}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Найдите все функции $f:\left( 0,+\infty \right)\to \left( 0,+\infty \right)$ такие, что $\dfrac{{{\left( f(w) \right)}^{2}}+{{\left( f(x) \right)}^{2}}}{f({{y}^{2}})+f({{z}^{2}})}=\dfrac{{{w}^{2}}+{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}$ для любых положительных $w$, $x$, $y$, $z$ удовлетворяющих равенству $wx=yz$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Пусть $n$ и $k$ такие натуральные числа, что $k\ge n$, а число $n-k$ четное. Имеется $2n$ лампочек, занумерованных числами $1$, $2$, $\ldots $, $2n$, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний: вкл. (включена) или выкл. (выключена). Вначале все лампочки были выключены. Рассматриваются упорядоченные последовательности шагов: на каждом шаге ровно одна из лампочек меняет свое состояние на противоположное (с вкл. на выкл. либо с выкл. на вкл.). Обозначим через $N$ количество последовательностей из $k$ шагов, приводящих к ситуации, в которой все лампочки с 1-й по $n$-ю включены, а все лампочки с $\left( n+1 \right)$-й по $\left( 2n \right)$-ю выключены.
Обозначим через $M$ количество последовательностей из к шагов, приводящих к ситуации, в которой также все лампочки с 1-й по $n$-ю включены, все лампочки с $\left( n+1 \right)$-й по $\left( 2n \right)$-ю выключены, но при этом ни одна из лампочек с $\left( n+1 \right)$-й по $\left( 2n \right)$-ю ни разу не меняла своего состояния. Найдите значение отношения $\dfrac{N}{M}$.
комментарий/решение

---

Задача №6.  Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, в котором $BA\ne BC$. Обозначим окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, через ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ соответственно. Предположим, что существует окружность $\omega $, которая касается продолжения отрезка $BA$ за точку $A$, продолжения отрезка $BC$ за точку $C$, а также касается прямых $AD$ и $CD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ пересекаются на окружности $\omega $.
комментарий/решение(2)

---