49-я Международная Математическая OлимпиадаИспания, Мадрид, 2008 год

а) Докажите, что неравенство $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{2}}}{{{\left( z-1 \right)}^{2}}}\ge 1$ выполняется для любых отличных от 1 действительных чисел $x$, $y$, $z$ таких, что $xyz=1$.
б) Докажите, что указанное неравенство обращается в равенство для бесконечного числа троек отличных от единицы рациональных чисел $x$, $y$, $z$ таких, что $xyz=1$.

Комментарий/решение

$$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}=\left(\frac{x}{x-1}\right)^2+\left(\frac{y}{y-1}\right)^2+\left(\frac{z}{z-1}\right)^2\geq 1$$

$$\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{x-1}=a \\ \frac{y}{y-1}=b \\ \frac{z}{z-1}=c \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{a}{a-1}=x \\ \frac{b}{b-1}=y \\ \frac{c}{c-1}=z \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \ a^2+b^2+c^2\geq 1\\ xyz=\frac{abc}{(a-1)(b-1)(c-1)}=1 \\ \end{gathered} \right.$$

$$\frac{abc}{(a-1)(b-1)(c-1)}=1\Rightarrow a+b+c=ab+bc+ac+1$$

$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(\underbrace{ab+bc+ca})=$$

$$=a^2+b^2+c^2+2a+2b+2c-2\Rightarrow \underbrace{(a+b+c)^2-2(a+b+c)+1}=(a^2+b^2+c^2)-1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow a^2+b^2+c^2-1=\underbrace{(a+b+c-1)^2}_{\geq0}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$$

при $x,y,z$ положительных легко доказать теперь заметим одно или все из них отрицательными быть не могут из условия тогда пусть $y,z$ отрицательные $y=-m;z=-n$

$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{(-m)^2}{(-m-1)^2}+\dfrac{(-n)^2}{(-n-1)^2}\geq 1$

$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+(\dfrac{(-m)}{(-m-1)})^2+(\dfrac{(-n)^2}{(-n-1)^2})^2\geq 1$ Заметим $\dfrac{-a}{-k}=\dfrac{a}{k}$ тогда

$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+(\dfrac{(m)}{(m+1)})^2+(\dfrac{(n)^2}{(n+1)^2})^2\geq 1$

делая $AM-GM$

$\dfrac{x^2}{(x-1)^2}+\dfrac{2mn}{(m+1)(n+1)}\geq 1$

$(x^2)(m+1)(n+1)+2mn(x-1)^2\geq (x-1)^2(m+1)(n+1)$

это как $4x+mn+2xm+2xn\geq 3+m+n$

$AM-GM$ для $mn,xm,nx\geq 3$

$4x+xm+xn\geq m+n$

$4x\geq (m+n)(1-x)$ если $x\leq 1 $ правильно

$x(4+m+n)\geq m+n$ если $x\geq 1 $ правильно так что для любых $x$ это правильно

Wow,king