49-я Международная Математическая Oлимпиада
Испания, Мадрид, 2008 год
Пусть H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром в середине стороны BC, проходящая через точку H, пересекает прямую BC в точках A1 и A2. Аналогично окружность с центром в середине стороны CA, проходящая через точку H, пересекает прямую CA в точках B1 и B2, а окружность с центром в середине стороны AB, проходящая через точку H, пересекает прямую AB в точках C1 и C2. Докажите, что точки A1, A2, B1, B2, C1, C2 лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ω1,ω2,ω3 окружности с диаметром на BC,AB,AC соответственно. На самом деле нам достаточно показать концикличность следующих четверок точек: C1C2B1B2, C1C2A1A2, A1A2B1B2
(i)C1C2B1B2
Пусть D,E,F середины AC,AB,BC. Для вписанности нам достаточно показать что Pow(A,ω3)=Pow(A,ω2). То есть A - должна лежать на радикально оси этих окружностей. Зная что H лежит на одном из пересечений окружностей, AH должна является искомой радикальной осью. Соединим D и E, очевидно AH⊥DE, причем D и E являются центром обоих окружностей, но прямая перпендикулярная отрезку соединяющего центры двух окружностей, проходящая через одну из точек пресечения, является радикальной осью.
Для оставшихся точек C1C2A1A2, A1A2B1B2, доказательство аналогичны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.