Математикадан 49-шы халықаралық олимпиада, 2008 жыл, Мадрид
ABC сүйірбұрышты үшбұрышының биіктіктерінің қиылысу нүктесі H болсын. Центрі BC қабырғасында орналасқан H нүктесі арқылы өтетін шеңбер BC түзуін A1 және A2 нүктелерінде қияды. Дәл сондай центрі CA қабырғасының ортасында болатын H нүктесі арқылы өтетін шеңбер CA түзуін B1 және B2 нүктелерінде қияды, ал центрі AB қабырғасының ортасында болатын H нүктесі арқылы өтетін шеңбер AB түзуін C1 және C2 нүктелерінде қияды. A1, A2, B1, B2, C1, C2 нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть ω1,ω2,ω3 окружности с диаметром на BC,AB,AC соответственно. На самом деле нам достаточно показать концикличность следующих четверок точек: C1C2B1B2, C1C2A1A2, A1A2B1B2
(i)C1C2B1B2
Пусть D,E,F середины AC,AB,BC. Для вписанности нам достаточно показать что Pow(A,ω3)=Pow(A,ω2). То есть A - должна лежать на радикально оси этих окружностей. Зная что H лежит на одном из пересечений окружностей, AH должна является искомой радикальной осью. Соединим D и E, очевидно AH⊥DE, причем D и E являются центром обоих окружностей, но прямая перпендикулярная отрезку соединяющего центры двух окружностей, проходящая через одну из точек пресечения, является радикальной осью.
Для оставшихся точек C1C2A1A2, A1A2B1B2, доказательство аналогичны.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.