Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

49-я Международная Математическая Oлимпиада
Испания, Мадрид, 2008 год


Пусть H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром в середине стороны BC, проходящая через точку H, пересекает прямую BC в точках A1 и A2. Аналогично окружность с центром в середине стороны CA, проходящая через точку H, пересекает прямую CA в точках B1 и B2, а окружность с центром в середине стороны AB, проходящая через точку H, пересекает прямую AB в точках C1 и C2. Докажите, что точки A1, A2, B1, B2, C1, C2 лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  6
2 года 8 месяца назад #

Пусть ω1,ω2,ω3 окружности с диаметром на BC,AB,AC соответственно. На самом деле нам достаточно показать концикличность следующих четверок точек: C1C2B1B2, C1C2A1A2, A1A2B1B2

(i)C1C2B1B2

Пусть D,E,F середины AC,AB,BC. Для вписанности нам достаточно показать что Pow(A,ω3)=Pow(A,ω2). То есть A - должна лежать на радикально оси этих окружностей. Зная что H лежит на одном из пересечений окружностей, AH должна является искомой радикальной осью. Соединим D и E, очевидно AHDE, причем D и E являются центром обоих окружностей, но прямая перпендикулярная отрезку соединяющего центры двух окружностей, проходящая через одну из точек пресечения, является радикальной осью.

Для оставшихся точек C1C2A1A2, A1A2B1B2, доказательство аналогичны.

  3
2 года 7 месяца назад #

Нурс аби мощь