49-я Международная Математическая OлимпиадаИспания, Мадрид, 2008 год

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, в котором $BA\ne BC$. Обозначим окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, через ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ соответственно. Предположим, что существует окружность $\omega $, которая касается продолжения отрезка $BA$ за точку $A$, продолжения отрезка $BC$ за точку $C$, а также касается прямых $AD$ и $CD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ пересекаются на окружности $\omega $.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_1 \cap AC=E$ и $\omega_2 \cap AC=F$. А $E’, F’$ отметим как диаметрально противоположные точки точкам $E,F$.

Так как $2CE=CB+AC-AB$ тогдa не сложным счетом отрезков можно понять что $CE=AF$. Значит $F$ точка касание $B$-вневписанной окружности и аналогично $E$ точка касание $D$-вневписанной. Отсюда по задаче $IMO$ $1992$ $P4$ можно понять что $B-E’-F, D-F’-E$ колинеарны. Заметим то $E’E||FF’$ отсюда $EF’ \cap FE’=Z$ где $Z$ и есть пересечение общих внешних касательных .

Пусть прямая паралельная $AC$ проходящая через $Z$ пересекает $AB,BC$ в точках $A_1, C_1$ а $AD, DC$ в точках $A_2, C_2$. При гомотетии с центром $B$ переводящая $AC$ в $A_1C_1$ , переводит $F$ в $Z$. А так как $F$ точка касание $B$-вневписанной окружности значит $Z$ точка касание $B$-вневписанной для $BA_1C_1=\omega_3$. Аналогично совершив такую же гомотетию с центром $D$ можно понять что $K$ точка касание $D$-вневписанной для $DA_2C_2=\omega_4$.

По теореме монжа для $\omega, \omega_3, \omega_4$ выходит что $B-D-K$ колинеарны что не возмонжно отсюда $\omega= \omega_3= \omega_4$