49-я Международная Математическая OлимпиадаИспания, Мадрид, 2008 год

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, в котором $BA\ne BC$. Обозначим окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, через ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ соответственно. Предположим, что существует окружность $\omega $, которая касается продолжения отрезка $BA$ за точку $A$, продолжения отрезка $BC$ за точку $C$, а также касается прямых $AD$ и $CD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ пересекаются на окружности $\omega $.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_1 \cap AC=E$ и $\omega_2 \cap AC=F$. А $E’, F’$ отметим как диаметрально противоположные точки точкам $E,F$.

Так как $2CE=CB+AC-AB$ тогдa не сложным счетом отрезков можно понять что $CE=AF$. Значит $F$ точка касание $B$-вневписанной окружности и аналогично $E$ точка касание $D$-вневписанной. Отсюда по задаче $IMO$ $1992$ $P4$ можно понять что $B-E’-F, D-F’-E$ колинеарны. Заметим то $E’E||FF’$ отсюда $EF’ \cap FE’=Z$ где $Z$ и есть пересечение общих внешних касательных .

Пусть прямая паралельная $AC$ проходящая через $Z$ пересекает $AB,BC$ в точках $A_1, C_1$ а $AD, DC$ в точках $A_2, C_2$. При гомотетии с центром $B$ переводящая $AC$ в $A_1C_1$ , переводит $F$ в $Z$. А так как $F$ точка касание $B$-вневписанной окружности значит $Z$ точка касание $B$-вневписанной для $BA_1C_1=\omega_3$. Аналогично совершив такую же гомотетию с центром $D$ можно понять что $K$ точка касание $D$-вневписанной для $DA_2C_2=\omega_4$.

По теореме монжа для $\omega, \omega_3, \omega_4$ выходит что $B-D-K$ колинеарны что не возмонжно отсюда $\omega= \omega_3= \omega_4$

Пусть $\omega_1, \omega_2$ касаются $AC$ в точках $E,F$. Также обозначим $T$ точку касание из прямой паралельной $AC$, и пусть она пересекает $BA,BC$ в точках $A’,C’$. Тогда по DDIT для $T[ABCD]$, пары $(TA,TC), (TB,TD), (TA’,TC’)$ меняются и проекцируя на $AC$, существует инволюция которая меняет местами $(A,C), (E’,F’)$ и две точки на бесконечности ($E’=TD \cap AC, F’=TB \cap AC$). Так как две точки на бесконечнечности меняются местами значит эта инволюция это отражение относительно середины $AC$. То есть $AE’=CF’$, но по гомотетии $AE=CF’$ отсюда $E=E’$ и $F’=F$ что доказывает задачу

Худший

Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек Бердибек❤️

жанатбек аби вы вернулись

НУ ПРОСТИ ПОЖАЛУЙСТА

қое

абуголик

Аби❤️

ул

хватит комментить на матоле уже

ох