Математикадан 49-шы халықаралық олимпиада, 2008 жыл, Мадрид

$BA\ne BC$ болатын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілсін. $ABC$ және $ADC$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерді сәйкесінше ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ деп белгілейміз. $BA$ кесіндісінің жалғасын $A$ нүктесінде, $BC$ кесіндісінің жалғасын $C$ нүктесінде, ал $AD$ және $CD$ түзулерін жанайтындай $\omega$ шеңбері кездеседі деп есептейік. ${{\omega }_{1}}$ және ${{\omega }_{2}}$ шеңберлеріне жүргізілген сыртқы ортақ жанамалар $\omega$ шеңберінің бойында қиылысатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_1 \cap AC=E$ и $\omega_2 \cap AC=F$. А $E’, F’$ отметим как диаметрально противоположные точки точкам $E,F$.

Так как $2CE=CB+AC-AB$ тогдa не сложным счетом отрезков можно понять что $CE=AF$. Значит $F$ точка касание $B$-вневписанной окружности и аналогично $E$ точка касание $D$-вневписанной. Отсюда по задаче $IMO$ $1992$ $P4$ можно понять что $B-E’-F, D-F’-E$ колинеарны. Заметим то $E’E||FF’$ отсюда $EF’ \cap FE’=Z$ где $Z$ и есть пересечение общих внешних касательных .

Пусть прямая паралельная $AC$ проходящая через $Z$ пересекает $AB,BC$ в точках $A_1, C_1$ а $AD, DC$ в точках $A_2, C_2$. При гомотетии с центром $B$ переводящая $AC$ в $A_1C_1$ , переводит $F$ в $Z$. А так как $F$ точка касание $B$-вневписанной окружности значит $Z$ точка касание $B$-вневписанной для $BA_1C_1=\omega_3$. Аналогично совершив такую же гомотетию с центром $D$ можно понять что $K$ точка касание $D$-вневписанной для $DA_2C_2=\omega_4$.

По теореме монжа для $\omega, \omega_3, \omega_4$ выходит что $B-D-K$ колинеарны что не возмонжно отсюда $\omega= \omega_3= \omega_4$