Математикадан 43-ші халықаралық олимпиада, 2002 жыл, Глазго

Есеп №1.

$n$ натурал саны берілген.

$T$ арқылы координат жазықтығындағы

$\left( x,y \right)$ нүктелер жиынын белгілейік, мұндағы

$x+y < n$ болатындай

$x$ және

$y$ теріс емес бүтін сандар.

$T$ жиынының әрбір нүктесі не қызыл түске не көк түске боялған. Егер

$\left( x,y \right)$ нүктесі қызыл болса, онда

$x'\le x$ және

$y'\le y$ болатындай

$T$ жиынының барлық

$\left( x',y' \right)$ нүктелері де қызыл болады.

$X$ -жиыны деп әр түрлі

$x$ координаталары бар

$n$ көк нүктеден тұратын жиынды атайық, ал

$Y$ -жиыны деп әр түрлі

$y$ координаталары бар

$n$ көк нүктеден тұратын жиынды атаймыз.

$X$ -жиыны мен

$Y$ -жиыны тең екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №2. Центрі

$O$ және диаметрі

$BC$ болатын

$\Gamma$ шеңбері берілген.

$0{}^\circ < \angle AOB < 120{}^\circ$ орындалатындай

$A$ нүктесі

$\Gamma$ шеңберінің бойындағы нүкте, ал

$D$ —

$C$ нүктесі жоқ

$AB$ доғасының ортасы.

$O$ нүктесі арқылы өтетін

$DA$ -ға параллель түзу

$AC$ түзуін

$J$ нүктесінде қияды.

$OA$ кесіндісінің орта перпендиякуляры

$\Gamma$ шеңберін

$E$ және

$F$ нүктелерінде қияды.

$J$ нүктесі

$CEF$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің цетрі екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\dfrac{{{a}^{m}}+a-1}{{{a}^{n}}+{{a}^{2}}-1}$ саны бүтін болатындай

$a$ шексіз көп натурал саны табылатындай барлық

$m\ge 3$ ,

$n\ge 3$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. 1-ден үлкен

$n$ натурал саны берілген.

${{d}_{1}},{{d}_{2}},\ldots ,{{d}_{k}}$ арқылы оның барлық бөлгіштерін белгілейік, мұндағы

$1={{d}_{1}} < {{d}_{2}} < \ldots < {{d}_{k}}=n$ .

$D={{d}_{1}}{{d}_{2}}+{{d}_{2}}{{d}_{3}}+\ldots +{{d}_{k-1}}{{d}_{k}}$ болсын.
а)

$D < {{n}^{2}}$ екенін дәлелдеңіздер.
б)

$D$ саны

${{n}^{2}}$ санының бөлгіші болатындай барлық

$n$ натурал сандардың табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Барлық

$x,y,z,t$ нақты сандары үшін

$\left( f(x)+f(z) \right)\left( f(y)+f(t) \right)=f(xy-zt)+f(xt+yz)$ орындалатындай барлық

$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Жазықтықта центрлері

${{O}_{1}}$ ,

${{O}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{O}_{n}}$ және радиустары 1 болатын сәйкесінше

${{\Gamma }_{1}}$ ,

${{\Gamma }_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{\Gamma }_{n}}$ шеңберлері орналасқан. Жазықтықтың кез келген түзуінің ең көп дегенде екі шеңберімен ғана ортақ нүктелері бар екені белгілі.

$\sum\limits_{1\le i < j\le n}^{{}}{\dfrac{1}{{{O}_{i}}{{O}_{j}}}}\le \dfrac{(n-1)\pi }{4}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

результаты