қазақша
русскийМатематикадан 43-ші халықаралық олимпиада, 2002 жыл, Глазго
Есеп №1. $n$ натурал саны берілген. $T$ арқылы координат жазықтығындағы $\left( x,y \right)$ нүктелер жиынын белгілейік, мұндағы $x+y < n$ болатындай $x$ және $y$ теріс емес бүтін сандар. $T$ жиынының әрбір нүктесі не қызыл түске не көк түске боялған. Егер $\left( x,y \right)$ нүктесі қызыл болса, онда $x'\le x$ және $y'\le y$ болатындай $T$ жиынының барлық $\left( x',y' \right)$ нүктелері де қызыл болады. $X$-жиыны деп әр түрлі $x$ координаталары бар $n$ көк нүктеден тұратын жиынды атайық, ал $Y$-жиыны деп әр түрлі $y$ координаталары бар $n$ көк нүктеден тұратын жиынды атаймыз. $X$-жиыны мен $Y$-жиыны тең екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Центрі $O$ және диаметрі $BC$ болатын $\Gamma $ шеңбері берілген. $0{}^\circ < \angle AOB < 120{}^\circ $ орындалатындай $A$ нүктесі $\Gamma $ шеңберінің бойындағы нүкте, ал $D$ — $C$ нүктесі жоқ $AB$ доғасының ортасы. $O$ нүктесі арқылы өтетін $DA$-ға параллель түзу $AC$ түзуін $J$ нүктесінде қияды. $OA$ кесіндісінің орта перпендиякуляры $\Gamma $ шеңберін $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $J$ нүктесі $CEF$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің цетрі екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $\dfrac{{{a}^{m}}+a-1}{{{a}^{n}}+{{a}^{2}}-1}$ саны бүтін болатындай $a$ шексіз көп натурал саны табылатындай барлық $m\ge 3$, $n\ge 3$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. 1-ден үлкен $n$ натурал саны берілген. ${{d}_{1}},{{d}_{2}},\ldots ,{{d}_{k}}$ арқылы оның барлық бөлгіштерін белгілейік, мұндағы $1={{d}_{1}} < {{d}_{2}} < \ldots < {{d}_{k}}=n$. $D={{d}_{1}}{{d}_{2}}+{{d}_{2}}{{d}_{3}}+\ldots +{{d}_{k-1}}{{d}_{k}}$ болсын.
а) $D < {{n}^{2}}$ екенін дәлелдеңіздер.
б) $D$ саны ${{n}^{2}}$ санының бөлгіші болатындай барлық $n$ натурал сандардың табыңыздар.
комментарий/решение(2)
а) $D < {{n}^{2}}$ екенін дәлелдеңіздер.
б) $D$ саны ${{n}^{2}}$ санының бөлгіші болатындай барлық $n$ натурал сандардың табыңыздар.
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Барлық $x,y,z,t$ нақты сандары үшін $$\left( f(x)+f(z) \right)\left( f(y)+f(t) \right)=f(xy-zt)+f(xt+yz)$$ орындалатындай барлық $ f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. Жазықтықта центрлері ${{O}_{1}}$, ${{O}_{2}}$, $\ldots $, ${{O}_{n}}$ және радиустары 1 болатын сәйкесінше ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$, $\ldots $, ${{\Gamma }_{n}}$ шеңберлері орналасқан. Жазықтықтың кез келген түзуінің ең көп дегенде екі шеңберімен ғана ортақ нүктелері бар екені белгілі. $\sum\limits_{1\le i < j\le n}^{{}}{\dfrac{1}{{{O}_{i}}{{O}_{j}}}}\le \dfrac{(n-1)\pi }{4}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)