43-я Международная Математическая Oлимпиада
Великобритания, Глазго, 2002 год
а) Докажите, что $D < {{n}^{2}}$.
б) Найдите все $n$, для которых число $D$ — делитель числа ${{n}^{2}}$.
Комментарий/решение:
$a)$
$d_1d_2= \dfrac{n^2}{d_kd_{k-1}}$ и т.д. со всеми $\Rightarrow$
$ \dfrac{n^2}{d_{k}d_{k-1}}+$$ \dfrac{n^2}{d_{k-1}d_{k-2}}$$+$.....$+ \dfrac{n^2}{d_{1}d_{2}}<n^2$$\Rightarrow$
$ \dfrac{n^2(d_{k-2}d_{k-3}...d_{1})}{d_{k}d_{k-1}...d_{1}}$$+$$ \dfrac{n^2(d_{k}d_{k-3}...d_{1})}{d_{k}d_{k-1}...d_{1}}$$+$.....$+$$ \dfrac{n^2(d_kd_{k-1}d_{k-2}d_{k-3}...d_{3})}{d_{k}d_{k-1}...d_{1}} <n^2$$\Rightarrow$
$n^2(d_{k-2}d_{k-3}...d_{1}+d_{k}d_{k-3}...d_{1}+...+d_kd_{k-1}d_{k-2}d_{k-3}...d_{3})<n^2(d_{k}d_{k-1}...d_{1})$$\Rightarrow$
$d_{k-2}d_{k-3}...d_{1}+d_{k}d_{k-3}...d_{1}+...+d_kd_{k-1}d_{k-2}d_{k-3}...d_{3}<d_{k}d_{k-1}...d_{1}$ясно что правое больше по индукции
$b)$$n^2/\dfrac{n^2(d_{k-2}d_{k-3}...d_{1}+d_{k}d_{k-3}...d_{1}+...+d_kd_{k-1}d_{k-2}d_{k-3}...d_{3})}{n^2(d_{k}d_{k-1}...d_{1})}$$\Rightarrow$
$\dfrac{n^4(d_{k}d_{k-1}...d_{1})}{n^2(d_{k-2}d_{k-3}...d_{1}+d_{k}d_{k-3}...d_{1}+...+d_kd_{k-1}d_{k-2}d_{k-3}...d_{3})}$$\Rightarrow$
$\dfrac{n^2(d_{k}d_{k-1}...d_{1})}{(d_{k-2}d_{k-3}...d_{1}+d_{k}d_{k-3}...d_{1}+...+d_kd_{k-1}d_{k-2}d_{k-3}...d_{3})}$$\Rightarrow$
Пусть $n\ne x^{2k} \Rightarrow$$d_kd_1=n=d_{k-1}d_{2}=....$$\Rightarrow$
$\dfrac{n^2n^{k/2}}{(k-1)n^{(k-2)/2}(d_1d_2+...+d_kd_{k-1})}$$\Rightarrow$
$\dfrac{n^3}{(k-1)(d_1d_2+...+d_kd_{k-1})}$ Заметим$d_1d_2+...+d_kd_{k-1}$ нечетное тогда если $k=2$ то заметим что $n$ простое
Заметим что $d_1d_2+...+d_kd_{k-1}$ не может быть делителем числа $n$
т.к. это сумма делителей четного числа Заметим что откуда ответ $n\in P$
B)
p - ең кішкентай n санының жай бөлгіші болсын. к > 1 болсын ( n жай сан болмасын). Онда D > n²/p . n²/k = D. Осы жақта к > p бола алмайды және к ≠ 1 бола алмайды. Онда к < р және к n ды бөледі. Значит n санында p данда кіші жай бөлгіш табылып қалды противоречие. Значит n кез келген жай сан болады, құрама сан бола алмайды.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.