43-я Международная Математическая OлимпиадаВеликобритания, Глазго, 2002 год

На плоскости расположены окружности ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$, $\ldots $, ${{\Gamma }_{n}}$ радиуса 1 каждая с центрами ${{O}_{1}}$, ${{O}_{2}}$, $\ldots $, ${{O}_{n}}$ соответственно, где $n\ge 3$. Известно, что любая прямая плоскости имеет общие точки не более чем с двумя из этих окружностей. Докажите, что $$\sum\limits_{1\le i < j\le n}^{{}}{\dfrac{1}{{{O}_{i}}{{O}_{j}}}}\le \dfrac{(n-1)\pi }{4}.$$

Комментарий/решение

Обозначим $d(X, AB)$ — расстояние от $X$ до прямой $AB$. В основном мы будем использовать только $d(O_i, O_jO_k) \ge 2$ (*) для всего, что описано ниже. Пусть выпуклой оболочкой центров будут точки $H_1, H_2, \dots, H_k$ в указанном порядке. ($k$-угольник). Разумеется, все углы в радианах. Мы будем использовать неравенство $\sin{x} \le x$.

Лемма 1: $\sum_{i \not= j}\frac{1}{H_iH_j} \le \frac{1}{2} \cdot \frac{n-1}{n-2} \cdot \angle H_ {j-1}H_jH_{j+1}$ для любого $j$ (разумеется, индексы по модулю $k$)

Доказательство: Итак, возьмем $H_j$ и упорядочим оставшиеся $n-1$ вершины в зависимости от угла, чтобы при переходе от $H_{j-1}$ к $H_{j+1}$ мы попадали во все средние вершины в заказ. Назовем эти оставшиеся $n-1$ вершины $O_{j_1}, O_{j_2}, \dots, O_{j_{n-1}}$ (так что $O_{j_1} = H_{j-1}$ и $ O_{j_{n-1}} = H_{j+1}$). Таким образом мы формируем $n-2$ углов. Для каждой из $n-1$ длин $H_jO_{j_p}$ для некоторого $p$ по простому триггеру и (*) это $\ge \max(2/\sin{\alpha_\ell}, 2/ \sin{\alpha_r})$ где $\alpha_\ell, \alpha_r$ — углы слева и справа (если они существуют). Суммируя все это, легко получить ($\alpha_i$ — оптимальный угол для стороны) $\sum_{i \not= j}\frac{1}{H_iH_j} \le \frac{1} {2} \sum{\sin \alpha_i} \le \frac{n-1}{n-2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \angle H_{j-1}H_jH_{j+1 }$ поскольку $\sin{\alpha_i} \le \alpha_i$ и $\sum{\alpha_i} \le \frac{n-1}{n-2} \cdot \angle H_{j-1}H_jH_{j +1}$ (дополнительный коэффициент, поскольку сторон больше, чем углов).

Теперь обратим внимание на точки внутри выпуклой оболочки. Для любой точки $O_j$ внутри (или на) выпуклой оболочки имеем

Лемма 2: $\sum_{i \not= j} \frac{1}{O_iO_j} \le \frac{n-1}{n-2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi$

.Доказательство: Пытаясь повторить то же самое, что и выше, мы замечаем небольшую проблему: при развертке мы получим общий угол $2\pi$, поэтому наша правая шкала на самом деле будет вдвое больше, чем я написал в лемме 2. Чтобы решить эту проблему, расслабьтесь. наше состояние еще больше сводится к следующему:

для любых точек $O_i, O_k \not= O_j$, $d(O_i, O_kO_j) \ge 2$ (**), т.е. мы смотрим только на линии, проходящие через нашу вершину $O_j$.

Теперь заметим, что если мы отразим точку $O_i$ над $O_j$ в точку $O_i'$, то новый набор точек по-прежнему удовлетворяет условию (**) (легко видеть, что $d(O_i, O_kO_j) = d (O_i', O_kO_j)$ и $d(O_i, O_kO_j) = d(O_i, O_k'O_j)$)

Теперь выберите максимальный угол вида $O_iO_jO_k \le \pi$ и отразите некоторые оставшиеся точки над $O_j$ так, чтобы все они лежали в этом угле. Теперь повторите процесс, описанный в лемме 1, чтобы закончить. (Обратите внимание, что в лемме 1 на самом деле используется только (**))

Суммируя все окончательно, получаем по лемме 1 и лемме 2, поскольку сумма углов выпуклого k-угольника равна $\pi(k-2)$ и $n-k$ точек внутри, получаем $\frac{n- 1}{n-2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\pi(k-2) + \pi(n-k)) = \frac{\pi(n-1)}{2}$ . Но мы добавили каждое ребро дважды, поэтому для завершения разделите на $2$.