Математикадан 43-ші халықаралық олимпиада, 2002 жыл, Глазго
Центрі O және диаметрі BC болатын Γ шеңбері берілген. 0∘<∠AOB<120∘ орындалатындай A нүктесі Γ шеңберінің бойындағы нүкте, ал D — C нүктесі жоқ AB доғасының ортасы. O нүктесі арқылы өтетін DA-ға параллель түзу AC түзуін J нүктесінде қияды. OA кесіндісінің орта перпендиякуляры Γ шеңберін E және F нүктелерінде қияды. J нүктесі CEF үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің цетрі екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть точка E находится на той же стороне OA, что и точка B. Так как OA серединный перпендикуляр к отрезку EF, то CA биссектриса угла ECF. Нам достаточно доказать, что AJ=AF=AE. Так как BA⊥OD и ∠BAC=90, то AJ∥OD. Значит четырехугольник AJOD - параллелограмм ⇒ AJ=OD=OE. Поскольку, OA серединный перпендикуляр к отрезку EF и EF серединный перпендикуляр к отрезку OA, то четырехугольник AEOF - параллелограмм и AE=OE ⇒ AJ=AE=OE=AF, что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.