43-я Международная Математическая OлимпиадаВеликобритания, Глазго, 2002 год

Дана окружность $\Gamma$ с центром $O$ и диаметром $BC$. Пусть $A$ — такая точка окружности $\Gamma$, что $0{}^\circ < \angle AOB < 120{}^\circ$, а $D$ — середина дуги $AB$, не содержащей $C$. Прямая, проходящая через точку $O$ параллельно $DA$, пересекает прямую $AC$ в точке $J$. Серединный перпендикуляр к отрезку $OA$ пересекает окружность $\Gamma$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что точка $J$ является центром окружности, вписанной в треугольник $CEF$.

Комментарий/решение

Пусть точка $E$ находится на той же стороне $OA$, что и точка $B$. Так как $OA$ серединный перпендикуляр к отрезку $EF$, то $CA$ биссектриса угла $ECF$. Нам достаточно доказать, что $AJ = AF = AE$. Так как $BA \bot OD$ и $\angle BAC = 90$, то $AJ \parallel OD$. Значит четырехугольник $AJOD$ - параллелограмм $\Rightarrow$ $AJ = OD = OE$. Поскольку, $OA$ серединный перпендикуляр к отрезку $EF$ и $EF$ серединный перпендикуляр к отрезку $OA$, то четырехугольник $AEOF$ - параллелограмм и $AE = OE$ $\Rightarrow$ $AJ = AE = OE = AF$, что и требовалось доказать.