Математикадан 43-ші халықаралық олимпиада, 2002 жыл, Глазго

Центрі $O$ және диаметрі $BC$ болатын $\Gamma $ шеңбері берілген. $0{}^\circ < \angle AOB < 120{}^\circ $ орындалатындай $A$ нүктесі $\Gamma $ шеңберінің бойындағы нүкте, ал $D$ — $C$ нүктесі жоқ $AB$ доғасының ортасы. $O$ нүктесі арқылы өтетін $DA$-ға параллель түзу $AC$ түзуін $J$ нүктесінде қияды. $OA$ кесіндісінің орта перпендиякуляры $\Gamma $ шеңберін $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. $J$ нүктесі $CEF$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің цетрі екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть точка $E$ находится на той же стороне $OA$, что и точка $B$. Так как $OA$ серединный перпендикуляр к отрезку $EF$, то $CA$ биссектриса угла $ECF$. Нам достаточно доказать, что $AJ = AF = AE$. Так как $BA \bot OD$ и $\angle BAC = 90$, то $AJ \parallel OD$. Значит четырехугольник $AJOD$ - параллелограмм $\Rightarrow$ $AJ = OD = OE$. Поскольку, $OA$ серединный перпендикуляр к отрезку $EF$ и $EF$ серединный перпендикуляр к отрезку $OA$, то четырехугольник $AEOF$ - параллелограмм и $AE = OE$ $\Rightarrow$ $AJ = AE = OE = AF$, что и требовалось доказать.