43-я Международная Математическая OлимпиадаВеликобритания, Глазго, 2002 год

Найдите все пары натуральных чисел $m\ge 3$, $n\ge 3$, для которых существует бесконечно много таких натуральных чисел $a$, что число $\dfrac{{{a}^{m}}+a-1}{{{a}^{n}}+{{a}^{2}}-1}$ —целое.

Комментарий/решение

Замечаем $a^n + a^2 - 1 | (a+1)(a^m + a - 1) - (a^n + a^2 - 1) = (a^{m+1} + a^m) + (a^2 - 1) - (a^n + a^2 - 1) = a^{m+1} + a^m - a^n = a^n(a^{m-n+1} + a^{m-n} - 1)$ откуда $a^{n} + a^2 - 1 | a^{m-n+1} + a^{m-n} - 1$ легко понять что $n \leq m - n + 1$ откуда $2n-1\leq m$

Fact : $m \leq 2n - 1$

Возьмем $m=nk+x$

$(a^{nk+x}+a-1)-(a^n+a^2-1)=a^{nk+x}+a-a^2-a^n$

$a^{nk+x-1}+1-a-a^{n-1}$делится на $a^n+a^2-1$

$a^{nk+x-1}+1-a-a^{n-1}+a^n+a^2-1$ и теперь будем делать операцию делим на $a$ и добавляем или отрецаем $a^n + a^2 - 1$в конце концов вы придёте то что сумма чисел с степенью меньше чем $n$ и потом вы получите что $a^n + a^2 - 1$ больше чем исходное так чисел там много но меньше , и в конце концов выходит что $k$ ограничен и можно легко доказать что $k=2$ невозможен и потом через неё можно большие ограничить

Откуда $m=2n-1$

$a^n + a^2 - 1 | a^n + a^{n-1} - 1$

$a^n + a^2 - 1 | a^{n-1} - a^2$

Легко понять $n=3$

Надеюсь в решение нет дыр

Возьмем $P(x)=x^m+x-1$ и $Q(x)=a^n+a-1$. Тогда из условие следует что $Q(x)|P(x)$. Возьмем действительный корень $r$ многолена $Q(x)$. Тогда также из условие $r$ является корнем многочлена $P(x)$ =>> $r^n+r^2=1$ и $r^m+r=1$ =>> $r^n=r^m+r^{m+1}$. Очевидно что $m>n$ тогда возьмем $F(x)=x^{m-n+1}+x^{m-n}+1$. И так как для каждого действительного корня $Q(x)$ он является и корнем $F(x)$ =>> $Q(x)|F(x)$. Но факт что $X^N+X^{N+1}-1$ является неприводимым отсюда $F(x)$ является неприводимым. Отсюда следует что $m-n=2$ и $m-n+1=n$ =>> $(m,n)=(5,3)$.