43-я Международная Математическая OлимпиадаВеликобритания, Глазго, 2002 год

Найдите все пары натуральных чисел $m\ge 3$, $n\ge 3$, для которых существует бесконечно много таких натуральных чисел $a$, что число $\dfrac{{{a}^{m}}+a-1}{{{a}^{n}}+{{a}^{2}}-1}$ —целое.

Комментарий/решение

Замечаем $ a^n + a^2 - 1 | (a+1)(a^m + a - 1) - (a^n + a^2 - 1) = (a^{m+1} + a^m) + (a^2 - 1) - (a^n + a^2 - 1) = a^{m+1} + a^m - a^n = a^n(a^{m-n+1} + a^{m-n} - 1)$ откуда $ a^{n} + a^2 - 1 | a^{m-n+1} + a^{m-n} - 1$ легко понять что $ n \leq m - n + 1$ откуда $ 2n-1\leq m$

Fact : $ m \leq 2n - 1$

Возьмем $m=nk+x$

$(a^{nk+x}+a-1)-(a^n+a^2-1)=a^{nk+x}+a-a^2-a^n$

$a^{nk+x-1}+1-a-a^{n-1}$делится на $a^n+a^2-1$

$a^{nk+x-1}+1-a-a^{n-1}+a^n+a^2-1$ и теперь будем делать операцию делим на $a$ и добавляем или отрецаем $ a^n + a^2 - 1$в конце концов вы придёте то что сумма чисел с степенью меньше чем $n$ и потом вы получите что $ a^n + a^2 - 1$ больше чем исходное так чисел там много но меньше , и в конце концов выходит что $k$ ограничен и можно легко доказать что $k=2$ невозможен и потом через неё можно большие ограничить

Откуда $m=2n-1$

$ a^n + a^2 - 1 | a^n + a^{n-1} - 1$

$ a^n + a^2 - 1 | a^{n-1} - a^2$

Легко понять $n=3$

Надеюсь в решение нет дыр