Математикадан 37-ші халықаралық олимпиада, 1996 жыл, Мумбаи

Есеп №1. Қабырғалары

$AB=20$ ,

$BC=12$ болатын

$ABCD$ тіктөртбұрышты тақтасы бірлік квадраттарға бөлінген.

$r$ — берілген натурал сан болсын. Егер екі квадраттың центрлерінің қашықтығы

$\sqrt{r}$ болса, онда сол екі квадраттың бірінен біріне монетаны қозғау жүріс болып табылады. Монетаны төбесі

$A$ болатын квадраттан төбесі

$B$ болатын квадратқа ауыстыру қажет.
а)

$r$ саны 2--ге немесе 3--ке бөлінсе, онда монетаны ауыстыруға болмайтынын дәлелдеңдер.
б)

$r=73$ болса монетаны ауыстыруға болатынын дәлелдеңдер.
в)

$r=97$ болса, ауыстыруға бола ма?
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC$ орындалатындай

$P$ нүктесі берілген, ал

$D$ және

$E$ нүктелері сәйкесінше

$APB$ және

$APC$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің центрлері болсын.

$AP$ ,

$BD$ және

$CE$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$S=\left\{ 0,1,2,3,\ldots \right\}$ — теріс емес бүтін сандар жиыны болсын.

$\forall\ m,n\in S$ үшін

$f\left( m\text{ }+\text{ }f\left( n \right) \right)\text{ }=\text{ }f\left( f\left( m \right) \right)\text{ }+\text{ }f\left( n \right)$ орындалатындай

$S$ жиынында анықталған барлық

$f$ функцияларды табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №4.

$15a+16b$ және

$16a-15b$ сандары натурал сандардың квадраттары болатындай

$a$ және

$b$ натурал сандары болсын. Берілген екі квадраттың ең кіші мәні қандай мән қабылдай алады?
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$AB\parallel ED$ ,

$BC\parallel FE$ және

$CD\parallel AF$ болатындай

$ABCDEF$ дөңес алтыбұрышы берілсін.

$FAB$ ,

$BCD$ ,

$DEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустарын

${{R}_{A}}$ ,

${{R}_{C}}$ ,

${{R}_{E}}$ деп, ал алтыбұрыш периметрін

$P$ деп белгілейміз.

${{R}_{A}}+{{R}_{C}}+{{R}_{E}}\ge P/2$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$n,p,q$ — натурал сандар болсын және

$n > p+q$ . Келесі шарттарды қанағаттандыратындай

${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}$ бүтін сандарын қарастырамыз:
а)

${{x}_{0}}={{x}_{n}}=0$ ;
б)

$i$ ,

$q\le i\le n$ үшін мына теңдіктердің бірі орындалады:

${{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}=p$ немесе

${{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}=-q$ .

${{x}_{i}}={{x}_{j}}$ болатындай

$i < j$ және

$\left( i,j \right)\ne \left( 0,n \right)$ шартымен

$\left( i;j \right)$ индекс жұптары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

результаты