қазақша
русскийМатематикадан 37-ші халықаралық олимпиада, 1996 жыл, Мумбаи
Есеп №1. Қабырғалары $AB=20$, $BC=12$ болатын $ABCD$ тіктөртбұрышты тақтасы бірлік квадраттарға бөлінген. $r$ — берілген натурал сан болсын. Егер екі квадраттың центрлерінің қашықтығы $\sqrt{r}$ болса, онда сол екі квадраттың бірінен біріне монетаны қозғау жүріс болып табылады. Монетаны төбесі $A$ болатын квадраттан төбесі $B$ болатын квадратқа ауыстыру қажет.
а) $r$ саны 2--ге немесе 3--ке бөлінсе, онда монетаны ауыстыруға болмайтынын дәлелдеңдер.
б) $r=73$ болса монетаны ауыстыруға болатынын дәлелдеңдер.
в) $r=97$ болса, ауыстыруға бола ма?
комментарий/решение(1)
а) $r$ саны 2--ге немесе 3--ке бөлінсе, онда монетаны ауыстыруға болмайтынын дәлелдеңдер.
б) $r=73$ болса монетаны ауыстыруға болатынын дәлелдеңдер.
в) $r=97$ болса, ауыстыруға бола ма?
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышының ішінен $\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC$ орындалатындай $P$ нүктесі берілген, ал $D$ және $E$ нүктелері сәйкесінше $APB$ және $APC$ үшбұрыштарына іштей сызылған шеңберлердің центрлері болсын. $AP$, $BD$ және $CE$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $S=\left\{ 0,1,2,3,\ldots \right\}$ — теріс емес бүтін сандар жиыны болсын.
$\forall\ m,n\in S$ үшін
$f\left( m\text{ }+\text{ }f\left( n \right) \right)\text{ }=\text{ }f\left( f\left( m \right) \right)\text{ }+\text{ }f\left( n \right)$ орындалатындай $S$ жиынында анықталған барлық $f$ функцияларды табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. $15a+16b$ және $16a-15b$ сандары натурал сандардың квадраттары болатындай $a$ және $b$ натурал сандары болсын. Берілген екі квадраттың ең кіші мәні қандай мән қабылдай алады?
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $AB\parallel ED$, $BC\parallel FE$ және $CD\parallel AF$ болатындай $ABCDEF$ дөңес алтыбұрышы берілсін. $FAB$, $BCD$, $DEF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радиустарын ${{R}_{A}}$, ${{R}_{C}}$, ${{R}_{E}}$ деп, ал алтыбұрыш периметрін $P$ деп белгілейміз. ${{R}_{A}}+{{R}_{C}}+{{R}_{E}}\ge P/2$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $n,p,q$ — натурал сандар болсын және $n > p+q$. Келесі шарттарды қанағаттандыратындай ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}$ бүтін сандарын қарастырамыз:
а) ${{x}_{0}}={{x}_{n}}=0$;
б) $i$, $q\le i\le n$ үшін мына теңдіктердің бірі орындалады: ${{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}=p$ немесе ${{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}=-q$.
${{x}_{i}}={{x}_{j}}$ болатындай $i < j$ және $\left( i,j \right)\ne \left( 0,n \right)$ шартымен $\left( i;j \right)$ индекс жұптары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
а) ${{x}_{0}}={{x}_{n}}=0$;
б) $i$, $q\le i\le n$ үшін мына теңдіктердің бірі орындалады: ${{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}=p$ немесе ${{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}=-q$.
${{x}_{i}}={{x}_{j}}$ болатындай $i < j$ және $\left( i,j \right)\ne \left( 0,n \right)$ шартымен $\left( i;j \right)$ индекс жұптары табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение