37-я Международная Математическая OлимпиадаИндия, Мумбаи, 1996 год

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $15a+16b$ и $16a-15b$ — квадраты натуральных чисел. Какое наименьшее значение может принимать минимум из этих двух квадратов?

Комментарий/решение

Пусть $15a+16b=x^2;⠀16a-15b=y^2 \Rightarrow (15a)^2+(16a)^2+(16b)^2+(15b)^2+2\cdot 15 \cdot 16 \cdot ab-2\cdot 15 \cdot 16 \cdot ab=481(a^2+b^2)=(x^2)^2+(y^2)^2$

$x^4 \equiv {0;1;3;3;9;1;9;9;1;9;3;3;1} \pmod {13};⠀⠀x^4 \equiv{0;1;16;7;34;33;1;33;26;12;10;26;16;34;10;9;9;12;7} \pmod {37} \Longrightarrow 13;⠀37|x;y \longrightarrow 481|x,y \rightarrow x^2;⠀y^2\ge481^2=231361$