37-я Международная Математическая Oлимпиада
Индия, Мумбаи, 1996 год

Задача №1.  Прямоугольная доска $ABCD$ со сторонами $AB=20$, $BC=12$ разбита на единичные квадраты. Пусть $r$ — данное натуральное число. За один ход монету можно передвинуть из одного квадрата в другой, если расстояние между центрами этих квадратов равно $\sqrt{r}$. Монету необходимо перевести из квадрата с вершиной $A$ в квадрат с вершиной $B$.
а) Доказать, что этого нельзя сделать, если $r$ делится на 2 или на 3.
б) Доказать, что это можно сделать, если $r=73$.
в) Можно ли выполнить задание, если $r=97$?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Внутри треугольника $ABC$ дана такая точка $P$, что $\angle APB-\angle ACB=\angle APC-\angle ABC$, а $D$ и $E$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $APB$ и $APC$ соответственно. Доказать, что прямые $AP$, $BD$ и $CE$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Пусть $S=\left\{ 0,1,2,3,\ldots \right\}$ — множество неотрицательных целых чисел. Найти все функции $f$ определенные на $S$ и принимающие свои значения в $S$, такие, что $f\left( m\text{ }+\text{ }f\left( n \right) \right)\text{ }=\text{ }f\left( f\left( m \right) \right)\text{ }+\text{ }f\left( n \right)$ для всех $m,n$ из $S$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $15a+16b$ и $16a-15b$ — квадраты натуральных чисел. Какое наименьшее значение может принимать минимум из этих двух квадратов?
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $ABCDEF$ — выпуклый шестиугольник такой, что $AB\parallel ED$, $BC\parallel FE$ и $CD\parallel AF$. Обозначим через ${{R}_{A}}$, ${{R}_{C}}$, ${{R}_{E}}$ радиусы окружностей, описанных около треугольников $FAB$, $BCD$, $DEF$ соответственно, а через $P$ — периметр шестиугольника. Доказать, что ${{R}_{A}}+{{R}_{C}}+{{R}_{E}}\ge P/2$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Пусть $n,p,q$ — натуральные числа и $n > p+q$. Рассмотрим целые числа ${{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}}$, удовлетворяющие условиям:
а) ${{x}_{0}}={{x}_{n}}=0$;
б) для каждого $i$, $q\le i\le n$ выполняется одно из равенств: либо ${{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}=p$, либо ${{x}_{i}}-{{x}_{i-1}}=-q$. Доказать, что существует пара $\left( i;j \right)$ индексов, $i < j$ и $\left( i,j \right)\ne \left( 0,n \right)$ таких, что ${{x}_{i}}={{x}_{j}}$.
комментарий/решение

---