қазақша
русскийМатематикадан 35-ші халықаралық олимпиада, 1994 жыл, Гонконг
Есеп №1. $m$ және $n$ сандары оң бүтін сандар болсын. ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{m}}$ элементтері $1\le i\le j\le m$ және ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}\le n$ қанағаттандыратын кез келген $i,j$ индекстері үшін ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}={{a}_{k}}$ және $1\le k\le m$ болатындай $k$ табылатындай $\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ жиынының әр түрлі элементтері болсын. $\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{m}}}{m}\ge \dfrac{n+1}{2}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №2. $AB=AC$ болатын $ABC$ теңбүйірлі үшбұрышы берілген.
а) $M$ нүктесі $BC$-ның ортасы және $OB$ мен $AB$ перпендикуляр болатындай $O$ нүктесі $AM$ түзуінің бойында жатсын;
б) $Q$ нүктесі $BC$ кесіндісінің бойындағы $B$ және $C$ нүктелерінен өзге нүкте болсын;
в) $E$ нүктесі $AB$ түзуінде, $F$ нүктесі $AC$ түзуінде жатсын және $E$, $Q$, және $F$ бір түзудің бойында жатсын(әр түрлі нүктелер).
Дәлелдеңіздер: $OQ$ және $EF$ түзулері перпендикуляр болады тек және тек сонда ғана егер $QE=QF$ болса.
комментарий/решение(1)
а) $M$ нүктесі $BC$-ның ортасы және $OB$ мен $AB$ перпендикуляр болатындай $O$ нүктесі $AM$ түзуінің бойында жатсын;
б) $Q$ нүктесі $BC$ кесіндісінің бойындағы $B$ және $C$ нүктелерінен өзге нүкте болсын;
в) $E$ нүктесі $AB$ түзуінде, $F$ нүктесі $AC$ түзуінде жатсын және $E$, $Q$, және $F$ бір түзудің бойында жатсын(әр түрлі нүктелер).
Дәлелдеңіздер: $OQ$ және $EF$ түзулері перпендикуляр болады тек және тек сонда ғана егер $QE=QF$ болса.
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Кез келген оң бүтін $k$ саны үшін $f\left( k \right)$ арқылы әрбірінің екілік жазбасында дәл үш бірліктен бар $\left\{ k+1,k+2,\ldots ,2k \right\}$ жиынының барлық элементтер санын белгілейміз.
а) Әрбір оң бүтін $m$ саны үшін $f\left( k \right)=m$ болатындай кем дегенде бір оң бүтін $k$ саны табылатынын дәлелдеңіздер;
б) Әрбір $m$ үшін $f\left( k \right)=m$ орындалып жалғыз $k$ саны табылатындай барлық оң бүтін $m$ санын табыңыздар.
комментарий/решение
а) Әрбір оң бүтін $m$ саны үшін $f\left( k \right)=m$ болатындай кем дегенде бір оң бүтін $k$ саны табылатынын дәлелдеңіздер;
б) Әрбір $m$ үшін $f\left( k \right)=m$ орындалып жалғыз $k$ саны табылатындай барлық оң бүтін $m$ санын табыңыздар.
комментарий/решение
Есеп №4. $\dfrac{{{n}^{3}}+1}{mn-1}$ саны бүтін сан болатындай барлық реттелген оң бүтін $\left( m,n \right)$ сандар жұбын табыңыздар.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $S$ — барлық $-1$-ден қатаң үлкен нақты сандар жиыны болсын. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық $f:S\to S$ функцияларды табыңыздар:
а) Барлық $x,y\in S$ үшін $f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$
б) $-1 < x < 0$ және $x > 0$ әрбір аралығында $\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ қатаң өседі.
комментарий/решение
а) Барлық $x,y\in S$ үшін $f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$
б) $-1 < x < 0$ және $x > 0$ әрбір аралығында $\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ қатаң өседі.
комментарий/решение
Есеп №6. Келесі қасиеттер орындалатындай оң бүтін сандардан тұратын $A$ жиыны табылатынын көрсетіңіздер: әрбір шексіз $S$ жай сандар жиыны үшін $k\ge 2$ бүтін саны табылады, екеуі де $S$ жиынының әр түрлі $k$ элементінің көбейтіндісі болатын $m\in A$ және $n\notin A$ оң бүтін сандары табылады.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)