Математикадан 35-ші халықаралық олимпиада, 1994 жыл, Гонконг

Есеп №1.

$m$ және

$n$ сандары оң бүтін сандар болсын.

${{a}_{1}}$ ,

${{a}_{2}}$ ,

$\ldots$ ,

${{a}_{m}}$ элементтері

$1\le i\le j\le m$ және

${{a}_{i}}+{{a}_{j}}\le n$ қанағаттандыратын кез келген

$i,j$ индекстері үшін

${{a}_{i}}+{{a}_{j}}={{a}_{k}}$ және

$1\le k\le m$ болатындай

$k$ табылатындай

$\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ жиынының әр түрлі элементтері болсын.

$\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{m}}}{m}\ge \dfrac{n+1}{2}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$AB=AC$ болатын

$ABC$ теңбүйірлі үшбұрышы берілген.
а)

$M$ нүктесі

$BC$ -ның ортасы және

$OB$ мен

$AB$ перпендикуляр болатындай

$O$ нүктесі

$AM$ түзуінің бойында жатсын;
б)

$Q$ нүктесі

$BC$ кесіндісінің бойындағы

$B$ және

$C$ нүктелерінен өзге нүкте болсын;
в)

$E$ нүктесі

$AB$ түзуінде,

$F$ нүктесі

$AC$ түзуінде жатсын және

$E$ ,

$Q$ , және

$F$ бір түзудің бойында жатсын(әр түрлі нүктелер).
Дәлелдеңіздер:

$OQ$ және

$EF$ түзулері перпендикуляр болады тек және тек сонда ғана егер

$QE=QF$ болса.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Кез келген оң бүтін

$k$ саны үшін

$f\left( k \right)$ арқылы әрбірінің екілік жазбасында дәл үш бірліктен бар

$\left\{ k+1,k+2,\ldots ,2k \right\}$ жиынының барлық элементтер санын белгілейміз.
а) Әрбір оң бүтін

$m$ саны үшін

$f\left( k \right)=m$ болатындай кем дегенде бір оң бүтін

$k$ саны табылатынын дәлелдеңіздер;
б) Әрбір

$m$ үшін

$f\left( k \right)=m$ орындалып жалғыз

$k$ саны табылатындай барлық оң бүтін

$m$ санын табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №4.

$\dfrac{{{n}^{3}}+1}{mn-1}$ саны бүтін сан болатындай барлық реттелген оң бүтін

$\left( m,n \right)$ сандар жұбын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$S$ — барлық

$-1$ -ден қатаң үлкен нақты сандар жиыны болсын. Келесі шарттарды қанағаттандыратын барлық

$f:S\to S$ функцияларды табыңыздар:
а) Барлық

$x,y\in S$ үшін

$f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$
б)

$-1 < x < 0$ және

$x > 0$ әрбір аралығында

$\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ қатаң өседі.
комментарий/решение

Есеп №6. Келесі қасиеттер орындалатындай оң бүтін сандардан тұратын

$A$ жиыны табылатынын көрсетіңіздер: әрбір шексіз

$S$ жай сандар жиыны үшін

$k\ge 2$ бүтін саны табылады, екеуі де

$S$ жиынының әр түрлі

$k$ элементінің көбейтіндісі болатын

$m\in A$ және

$n\notin A$ оң бүтін сандары табылады.
комментарий/решение(4)