35-я Международная Математическая Oлимпиада
Гонконг, Гонконг, 1994 год

Задача №1.  Пусть $m$ и $n$ — целые положительные числа. Пусть ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $, ${{a}_{m}}$ —различные элементы множества $\left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ такие, что для любых индексов $i,j$, удовлетворяющих условиям $1\le i\le j\le m$ и ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}\le n$, существует индекс $k$, $1\le k\le m$, для которого ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}={{a}_{k}}$. Доказать, что $\dfrac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{m}}}{m}\ge \dfrac{n+1}{2}$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №2.  Дан равнобедренный треугольник $ABC$, где $AB=AC$. Предположим, что:
а) $M$ — середина $BC$ и $O$ — такая точка на прямой $AM$, что $OB$ и $AB$ перпендикулярны;
б) $Q$ — произвольная точка отрезка $BC$, отличная от точек $B$ и $C$;
в) точка $E$ лежит на прямой $AB$, точка $F$ лежит на прямой $AC$, и при этом точки $E$, $Q$, и $F$ различны и лежат на одной прямой.
Доказать, что $OQ$ и $EF$ перпендикулярны тогда и только тогда, когда $QE=QF$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Для любого целого положительного числа $k$ через $f\left( k \right)$ обозначим число всех элементов в множестве $\left\{ k+1,k+2,\ldots ,2k \right\}$, двоичное представление каждого из которых содержит в точности три единицы.
а) Доказать, что для каждого целого положительного числа $m$ существует хотя бы одно целое положительное число $k$ такое, что $f\left( k \right)=m$.
б) Найти все целые положительные числа $m$, для каждого из которых существует единственное $k$, удовлетворяющее условию $f\left( k \right)=m$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Найти все упорядоченные пары $\left( m,n \right)$ целых положительных чисел таких, что $\dfrac{{{n}^{3}}+1}{mn-1}$ является целым числом.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Пусть $S$ — множество всех действительных чисел, строго больших, чем $-1$. Найти все функции $f:S\to S$, удовлетворяющие условиям:
а) $f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x)$ для всех $x$ и $y$ из $S$;
б) $\dfrac{f\left( x \right)}{x}$ строго возрастает на каждом из интервалов $-1 < x < 0$ и $x > 0$.
комментарий/решение

---

Задача №6.  Показать, что существует множество $A$, состоящее из целых положительных чисел, которое обладает следующим свойством: для каждого бесконечного множества $S$ простых чисел существует целое число $k\ge 2$, а также существуют два целых положительных числа $m\in A$ и $n\notin A$ таких, что оба являются произведениями $k$ различных элементов множества $S$.
комментарий/решение(4)

---