Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что если

$M$ — точка касания со стороной

$AC$ окружности, вписанной в треугольник

$ABC$ , то

$AM =p-BC$ , где

$p$ — полупериметр треугольника

$ABC$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Для некоторых целых

$x, y$ число

$3x+2y$ делится на 23. Докажите, что число

$17x+19y$ также делится на 23.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)?
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что для любых действительных чисел

$a, b, c$ выполнено неравенство

$a^2+b^2+c^2+12\geq 4(a+b+c)$ .
комментарий/решение(3)

Задача №5. Из вершины

$C$ остроугольного треугольника

$ABC$ опущена высота

$CH$ , а из точки

$H$ опущены перпендикуляры

$HM$ и

$HN$ на стороны

$BC$ и

$AC$ соответственно. Докажите, что треугольники

$MNC$ и

$ABC$ подобны.
комментарий/решение(2)

Задача №6. В классе 40 учеников. Доказать, что существует месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения.
комментарий/решение(2)