Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 8 класс
Докажите, что если $M$ — точка касания со стороной $AC$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, то $AM =p-BC$, где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
$\triangle ABC$ үшбұрышының $AB, BC, AC$ қабырғасын іштей сызылған шеңбер сәйкесінше $N, P, M$ нүктелерінде жанасын. $AB=c, BC=a, AC=b$ деп белгілеу енгізейік. Шеңберден тыс бір нүктеден шыққан екі жанамалар тең болады, және $MA=x$ болсын.
$$MA=NA=x, NB=BP=c-x,$$
$$MC=PC=b-x$$
Сызба бойынша $BP+PC=BC$. Сонда
$$c-x+b-x=a$$
$$x=\frac{b+c-a}{2}$$ ал бұл соңғы теңдік
$$MA=x=\frac{b+c-a}{2}=\frac{a+b+c}{2}-a=$$
$$p-a=p-BC$$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.