Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 8 класс

Докажите, что если $M$ — точка касания со стороной $AC$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, то $AM =p-BC$, где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

$AM=AM'$

$BM'+CM=BC$

$AM= p-BC=\dfrac{AB+BC+AC}{2}-BC = \dfrac{AB+AC-BC}{2} = \dfrac{AM'+AM+(BM'+CM)-BC}{2}=AM$

$\triangle ABC$ үшбұрышының $AB, BC, AC$ қабырғасын іштей сызылған шеңбер сәйкесінше $N, P, M$ нүктелерінде жанасын. $AB=c, BC=a, AC=b$ деп белгілеу енгізейік. Шеңберден тыс бір нүктеден шыққан екі жанамалар тең болады, және $MA=x$ болсын.

$$MA=NA=x, NB=BP=c-x,$$

$$MC=PC=b-x$$

Сызба бойынша $BP+PC=BC$. Сонда

$$c-x+b-x=a$$

$$x=\frac{b+c-a}{2}$$ ал бұл соңғы теңдік

$$MA=x=\frac{b+c-a}{2}=\frac{a+b+c}{2}-a=$$

$$p-a=p-BC$$