Районная олимпиада, 2008-2009 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что если $M$ — точка касания со стороной $AC$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, то $AM =p-BC$, где $p$ — полупериметр треугольника $ABC$.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Для некоторых целых $x, y$ число $3x+2y$ делится на 23. Докажите, что число $17x+19y$ также делится на 23.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Сколькими способами можно построить замкнутую ломаную, вершинами которой являются вершины правильного шестиугольника (ломаная может быть самопересекающейся)?
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что для любых действительных чисел $a, b, c$ выполнено неравенство $a^2+b^2+c^2+12\geq 4(a+b+c)$.
комментарий/решение(3)

Задача №5. Из вершины $C$ остроугольного треугольника $ABC$ опущена высота $CH$, а из точки $H$ опущены перпендикуляры $HM$ и $HN$ на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. Докажите, что треугольники $MNC$ и $ABC$ подобны.
комментарий/решение(2)

Задача №6. В классе 40 учеников. Доказать, что существует месяц в году, когда хотя бы 4 ученика празднуют свой день рождения.
комментарий/решение(2)