Математикадан аудандық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 8 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.

$M$ —

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің

$AC$ қабырғасымен жанасу нүктесі.

$AM = p$ —

$BC$ екенін дәлелдеңіз. Мұндағы,

$p$ —

$ABC$ үшбұрышының жартыпериметрі.
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Кейбір бүтін

$x$ және

$y$ сандары үшін

$3x+2y$ саны 23-ке бөлінеді.

$17x+19y$ саны да 23-ке бөлінетінін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Қанша тәсілмен тұйық иректі жасауға болады, егер де төбелері дұрыс алтыбұрыштың төбелері болса (ирек өз-өзін қия алуы мүмкін)?
комментарий/решение

Есеп №4. Кез-келген нақты

$a,b,c$ сандары үшін

${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+12\ge 4(a+b+c)$ теңсіздігі орындалатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Сүйір бұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$C$ төбесінен

$CH$ биіктігі жүргізілді, ал

$H$ нүктесінен

$BC$ және

$AC$ қабырғаларына сәйкесінше

$HM$ және

$HN$ перпендикулярлары түсірілді.

$MNC$ және

$ABC$ үшбұрыштары ұқсас екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Сыныпта 40 оқушы бар. Туған күндерін ең болмаса 4 оқушы тойлайтын ай табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)