Математикадан жасөспірімдер арасындағы 16-шы Балкан олимпиадасы 2012 жыл, Верия, Греция

Есеп №1. $a$, $b$, $c$ сандары $a+b+c=1$ орындалатындай оң нақты сандар болсын. Дәлелдеңіздер: $$\dfrac {a}{b} + \dfrac {a}{c} + \dfrac {c}{b} + \dfrac {c}{a} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\dfrac{1-a}{a}} + \sqrt{\dfrac{1-b}{b}} + \sqrt{\dfrac{1-c}{c}}\right )$$ Теңсіздік қай кезде теңдікке айналады?
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. $k_1$ және $k_2$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылыссын, ал $t$ — $k_1$ және $k_2$ шеңберлеріне жүргізілген сәйкесінше $M$ және $N$ нүктелерінде жанайтын ортақ жанамалар болсын. Егер $t \perp AM$ және $MN=2AM$ болса, $NMB$ бұрышы неге тең?
комментарий/решение(4)

---

Есеп №3. Тақтаға бір-бірімен жіппен жалғанған $n$ шеге қағылған. Әрбір жіп $n$ түстің біріне боялған. Әрбір үш түрлі түс үшін осы түстермен боялып жалғанған үш шеге бар.
а) $n$ саны 6-ға тең болуы мүмкін бе?
б) $n$ саны 7-ге тең болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $2^x \cdot 3^y+5^z=7^t$ болатындай барлық $x$, $y$, $z$ және $t$ натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(6)

---