Математикадан жасөспірімдер арасындағы 16-шы Балкан олимпиадасы 2012 жыл, Верия, Греция

Есеп №1.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары

$a+b+c=1$ орындалатындай оң нақты сандар болсын. Дәлелдеңіздер:

$\dfrac {a}{b} + \dfrac {a}{c} + \dfrac {c}{b} + \dfrac {c}{a} + \dfrac {b}{c} + \dfrac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\dfrac{1-a}{a}} + \sqrt{\dfrac{1-b}{b}} + \sqrt{\dfrac{1-c}{c}}\right )$ Теңсіздік қай кезде теңдікке айналады?
комментарий/решение(4)

Есеп №2.

$k_1$ және

$k_2$ шеңберлері

$A$ және

$B$ нүктелерінде қиылыссын, ал

$t$ —

$k_1$ және

$k_2$ шеңберлеріне жүргізілген сәйкесінше

$M$ және

$N$ нүктелерінде жанайтын ортақ жанамалар болсын. Егер

$t \perp AM$ және

$MN=2AM$ болса,

$NMB$ бұрышы неге тең?
комментарий/решение(4)

Есеп №3. Тақтаға бір-бірімен жіппен жалғанған

$n$ шеге қағылған. Әрбір жіп

$n$ түстің біріне боялған. Әрбір үш түрлі түс үшін осы түстермен боялып жалғанған үш шеге бар.
а)

$n$ саны 6-ға тең болуы мүмкін бе?
б)

$n$ саны 7-ге тең болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$2^x \cdot 3^y+5^z=7^t$ болатындай барлық

$x$ ,

$y$ ,

$z$ және

$t$ натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(6)

результаты