16-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Верия, Греция, 2012 год
а) Может ли n быть равно 6?
б) Может ли n быть равно 7?
Комментарий/решение:
а) нет.
Заметим, что поскольку количество треугольников с вершинами в гвоздях и количество троек цветов равны по C3n, из условия следует, что все треугольники по тройкам цветов различны, и нет треугольника, в котором два цвета равны.
Рассмотрим количество треугольников сторона которых цвета 1. С одной стороны оно равно C2n−1. С другой, если рассмотреть каждую верёвку цвета 1 по отдельности она образует ровно n−2 треугольника, поэтому n−2|C2n−1
При n=6: 4|C25=5⋅42=10 - противоречие.
б) Да. Пусть A1,A2,...,A7 - данные гвозди. Раскрасим AiAi+1 в различные цвета, также Ai−1Ai+2,Ai−2Ai+3 раскрасим в тот же цвет, что и AiAi+1. Таким образом мы раскрасили все веревки. Из симметрии достаточно доказать, что можно найти треугольник с цветами (1,i,j), что можно сделать перебором.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.