16-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Верия, Греция, 2012 год

Задача №1.  Пусть $a$, $b$, $c$ — положительные действительные числа такие, что $a+b+c=1$. Докажите, что \[\frac {a}{b} + \frac {a}{c} + \frac {c}{b} + \frac {c}{a} + \frac {b}{c} + \frac {b}{a} + 6 \geq 2\sqrt{2}\left (\sqrt{\frac{1-a}{a}} + \sqrt{\frac{1-b}{b}} + \sqrt{\frac{1-c}{c}}\right ).\] Когда неравенство обращается в равенство?
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Пусть окружности $k_1$ и $k_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, и пусть $t$ — общая касательная прямая к окружностям $k_1$ и $k_2$, которая касается их в точках $M$ и $N$ соответственно. Если $t \perp AM$ и $MN=2AM$, то чему равен угол $NMB$?
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  На доске вбито $n$ гвоздей, каждые два из которых соединены веревкой. Каждая веревка окрашена в один из $n$ цветов. Для каждых трёх различных цветов есть три гвоздя, соединенных веревками этих цветов.
а) Может ли $n$ быть равно 6?
б) Может ли $n$ быть равно 7?
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Найдите все натуральные числа $x$, $y$, $z$ и $t$ такие, что $2^x \cdot 3^y+5^z=7^t$.
комментарий/решение(6)

---