16-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Верия, Греция, 2012 год
Комментарий/решение:
5^z \equiv 7^t \equiv 1 \pmod 3, \rightarrow z=2a. Рассмотрим 2 случая:
1) x=1, 2 \cdot 3^y+5^{2a}=7^t.
Рассмотрим по mod 4, 2 \cdot 3^y \equiv 2, 5^{2a} \equiv 1, то есть 7^t \equiv 3 \pmod 4, \Rightarrow t \in odd, t=2b+1.
Теперь рассмотрим по модулю 8, 2 \cdot 3^y \equiv 7-1=6, 3^y \equiv 3 \pmod 4, \Rightarrow y \in odd, y=2c+1.
Мы знаем, что 2\cdot 3^{2c+1}-7^{2b+1} делится на 5, то есть 2 \cdot (-1)^c \cdot 3-(-1)^b \cdot 2 делится на 5, но, рассмотрев четности c и b, выходим на противоречие.
2) x \geq 2, тогда 7^t \equiv 1 \pmod 4, \Rightarrow t \in even, t=2b, 2^x3^y=(7^b-5^a)(7^b+5^a) Заметим, что 7^b-5^a и 7^b+5^a не могут одновременно делиться на 3, рассмотрим 2 случая
i) 7^b-5^a=3^y2^{\alpha},
7^b+5^a=2^{x-\alpha}, очевидно, что \alpha=1, выходит, что 7^b=3^y+2^{x-2}, откуда x-2=2k. Также имеем, что 5^a=2^{x-2}-3^y=2^{2k}-3^y, \Rightarrow a=2m. (5^m+2^k)(2^k-5^m)=3^y, \Rightarrow 2^k-5^m=1, 2^k+5^m=3^y, 2^{k+1}=3^y+1, то есть k+1=2n, (2^n-1)(2^n+1)=3^y, \Rightarrow n=1, k=1, y=1, x=4,, но m=0=a=z, хотя z \in N, противоречие
ii) 7^b-5^a=2^{\alpha},
7^b+5^a=2^{x-\alpha}3^y. Либо \alpha, либо x-\alpha=1. Пусть \alpha=1, тогда 7^b-5^a=2, 7^b=5^a+2, 7^b \equiv 7 \pmod {10}, \rightarrow b=4l+1. Если a \geq 2, то 7^b \equiv 7 \equiv 2 \pmod {25}, противоречие, рассмотрим случай a=1, находим ответы x=3, y=1, z=2, t=2.
Пусть теперь x-\alpha=1, (Дальше подсмотрел решение, не смог добить) тогда 7^b=2^{x-2}+3^y, \rightarrow x-2=2k, 7^b-5^a=2^{x-1}, что делится на 4, \rightarrow b=2l, 49^l-5^a=2^{x-1}=2^{2k}*2 \equiv \pmod 8, \rightarrow a=2p, тогда (7^l-5^p)(7^l+5^p)=2^{x-1}, отсюда выходит противоречие, так как 12 не равен 2^{x-2}.
Ответ: x=3, y=1, z=2, t=2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.