Processing math: 100%

16-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Верия, Греция, 2012 год


Пусть окружности k1 и k2 пересекаются в точках A и B, и пусть t — общая касательная прямая к окружностям k1 и k2, которая касается их в точках M и N соответственно. Если tAM и MN=2AM, то чему равен угол NMB?
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 9 месяца назад #

Продлеваем AB до пересечения с MN, пусть CABMN. Мы знаем, что AB - радикальная ось для данных окружностей, то есть CM2=CN2,CM=CN. По условию 2AM=MN,AM=MC, то есть NMB=45, так как MB - высота и биссектриса для AMC

  1
2 года 1 месяца назад #

допустим что NMB не 45 тогда давайте выберем точку Х как центр MN тогда допустим что прямая AO пересекает первую окружность в точке С тогда давайте продолжим отрезок

MC до такой точки L что угол NLM прямой тогда давайте скажем что AX пересекает первую окружность в точке S тогда по счету можно найти что AX параллельна LN тогда выберем на прямой AX такую точку G что GLNX параллелограм тогда заметим что LG=

=NX также заметим что если LG пересекает AM в точке I то четырехугольник XMIL

прямоугольник тогда LI=XM но LI>XM

  5
2 года 1 месяца назад #

Легенда, решать геому от противного.

  2
2 года 1 месяца назад #

имею право